題組層級快練(八十三)
1．下列函式是正態密度函式的是( )
a．f(x)＝e，μ、σ(σ＞0)都是實數
b．f(x)＝e－
c．f(x)＝e－
d．f(x)＝－e
答案 b
解析 a中的函式值不是隨著|x|的增大而無限接近於零．而c中的函式無對稱軸，d中的函式影象在x軸下方，所以選b.
2．關於正態曲線性質的敘述：
①曲線關於直線x＝μ對稱，這個曲線在x軸上方；
②曲線關於直線x＝σ對稱，這個曲線只有當x∈(－3σ，3σ)時才在x軸上方；
③曲線關於y軸對稱，因為曲線對應的正態密度函式是乙個偶函式；
④曲線在x＝μ時處於最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；
⑤曲線的對稱軸由μ確定，曲線的形狀由σ確定；
⑥σ越大，曲線越「矮胖」，σ越小，曲線越「高瘦」．
上述說法正確的是( )
a．只有b．只有②④⑤
c．只有③④⑤⑥ d．只有①⑤⑥
答案 a
3．設隨機變數x～n(μ，σ2)，則隨著σ的增大，概率p(|x－μ|<3σ)將會( )
a．單調增加 b．單調減少
c．保持不變 d．增減不定
答案 c
解析 p(|x－μ|<3σ)＝p(μ－3σ4．(2015·廣東惠州一模)設隨機變數ξ服從正態分佈n(3,4)，若p(ξ<2a－3)＝p(ξ>a＋2)，則a＝( )
a．3 b.
c．5 d.
答案 d
解析因為ξ服從正態分佈n(3,4)，p(ξ<2a－3)＝p(ξ>a＋2)，所以2a－3＋a＋2＝6，a＝，故選d.
5．(2015·湖北荊州中學第一次質檢)若隨機變數x～n(1,4)，p(x≤0)＝m，則p(0a．1－2m b.
c. d．1－m
答案 a
解析因為隨機變數x～n(1,4)，所以正態曲線的對稱軸為x＝1，因此p(06．(2015·山東聊城重點高中聯考)已知服從正態分佈n(μ，σ2)的隨機變數在區間2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)內取值的概率分別為68.3%,95.4%和99.
7%.某校為高一年級1 000名新生每人定製一套校服，經統計，學生的身高(單位：cm)服從正態分佈(165,52)，則適合身高在155～175 cm範圍內的校服大約要定製( )
a．683套 b．954套
c．972套 d．997套
答案 b
解析 p(155<ξ<175)＝p(165－5×2<ξ<165＋5×2)＝p(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.
因此服裝大約定製1 000×95.4%＝954套．故選b.
7．已知變數x服從正態分佈n(4，σ2)，且p(x>2)＝0.6，則p(x>6)＝( )
a．0.4 b．0.3
c．0.2 d．0.1
答案 a
解析因為p(x>2)＝0.6，所以p(x<2)＝1－0.6＝0.
4.因為n(4，σ2)，所以此正態分佈的影象關於x＝4對稱，所以p(x>6)＝p(x<2)＝0.4.
故選a.
8．(2015·皖南十校聯考)在某市2023年1月份的高三質量檢測考試中，理科學生的數學成績服從正態分佈n(98,100)．已知參加本次考試的全市理科學生約9 450人．某學生在這次考試中的數學成績是108分，那麼他的數學成績大約排在全市第多少名？( )
a．1 500 b．1 700
c．4 500 d．8 000
答案 a
解析因為學生的數學成績x～n(98,100)，所以p(x≥108)＝[1－p(889．(2015·南昌調研)某單位1 000名青年職員的體重x(單位：kg)服從正態分佈n(μ，22)，且正態分佈的密度曲線如圖所示，若體重在58.5～62.
5 kg屬於正常，則這1 000名青年職員中體重屬於正常的人數約是( )
a．683 b．841
c．341 d．667
答案 a
解析 ∵p(58.510．(2015·河南安陽專項訓練)已知某次數學考試的成績服從正態分佈n(116,64)，則成績在140分以上的考生所佔的百分比為( )
a．0.3% b．0.23%
c．1.5% d．0.15%
答案 d
解析依題意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服從正態分佈的隨機變數在(μ－3σ，μ＋3σ)內取值的概率約為0.997，所以成績在區間(92,140)內的考生所佔的百分比約為99.
7%.從而成績在140分以上的考生所佔的百分比為＝0.15%.
故選d.
11．如果隨機變數x的概率分布密度函式是φμ，σ(x)＝e－(x∈r)，那麼e(2x－1
答案 －5
解析 σ＝2，μ＝－2，e(2x－1)＝2e(x)－1＝2×(－2)－1＝－5.
12．(2015·山東青島一模)已知隨機變數ξ服從正態分佈n(0，1)，若p(ξ>1)＝a，a為常數，則p(－1≤ξ≤0
答案 －a
解析由正態曲線的對稱軸為ξ＝0，又p(ξ>1)＝a，故p(ξ<－1)＝a.所以p(－1≤ξ≤0)＝＝－a，即答案為－a.
13．(2015·河北唐山二模)商場經營的某種袋裝大公尺質量(單位：kg)服從正態分佈n(10,0.12)，任取一袋大公尺，質量不足9.8 kg的概率為精確到0.000 1)
注：p(μ－σp(μ－2σp(μ－3σ答案 0.022 8
解析因為袋裝大公尺質量(單位：kg)服從正態分佈n(10,0.12)，所以p(ξ<9.
8)＝[1－p(9.8<ξ<10.2)]＝[1－p(10－2×0.
1<ξ<10＋2×0.1)]＝(1－0.954 4)＝0.
022 8.
14．某省實驗中學高三共有學生600人，一次數學考試的成績(試卷滿分150分)服從正態分佈n(100，σ2)，統計結果顯示學生考試成績在80分到100分之間的人數約佔總人數的，則此次考試成績不低於120分的學生約有________人．
答案 100
解析 ∵數學考試成績ξ～n(100，σ2)，作出正態分佈影象，可以看出，影象關於直線x＝100對稱．顯然p(80≤ξ≤100)＝p(100≤ξ≤120)＝；∴p(ξ≤80)＝p(ξ≥120)．又∵p(ξ≤80)＋p(ξ≥120)＝1－p(80≤ξ≤100)－p(100≤ξ≤120)＝，∴p(ξ≥120)＝×＝.
∴成績不低於120分的學生約為600×＝100人．
15．(2015·滄州七校聯考)2023年中國汽車銷售量達到1 700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車製造企業積極採用新技術降低耗油量，某汽車製造公司為調查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據統計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0公升，並且汽車的耗油量ξ服從正態分佈n(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率為0.7，那麼耗油量大於9公升的汽車大約有________輛．
答案 180
思路首先根據題意確定正態分佈的對稱軸，利用正態曲線的對稱性即可求得ξ>9的概率，利用概率來估計樣本中滿足條件的汽車數量．
解析由題意可知ξ～n(8，σ2)，故正態分佈曲線以μ＝8為對稱軸．又因為p(7≤ξ≤9)＝0.7，故p(7≤ξ≤9)＝2p(8≤ξ≤9)＝0.7，所以p(8≤ξ≤9)＝0.
35.而p(ξ≥8)＝0.5，所以p(ξ>9)＝0.
15.故耗油量大於9公升的汽車大約有1 200×0.15＝180輛．
16．(2015·湖北武漢模擬)某市一次全市高中男生身高統計調查資料顯示：全市100 000名男生的身高服從正態分佈n(168,16)．現從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發現被測學生身高全部介於160 cm和184 cm之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組[160,164)，第2組[164,168)，…，第6組[180,184]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
(1)由頻率分布直方圖估計該校高三年級男生平均身高狀況；
(2)求這50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人數；
(3)在這50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，將該2人中身高排名(從高到低)在全市前130名的人數記為ξ，求ξ的數學期望．
參考資料：
若ξ～n(μ，σ2)，則
p(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，
p(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4，
p(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.
答案 (1)168 cm (2)10人 (3)
解析 (1)由頻率分布直方圖，經過計算該校高三年級男生平均身高為(162×＋166×＋170×＋174×＋178×＋182×)×4＝168.72，高於全市的平均值168 cm.
(2)由頻率分布直方圖知，後3組頻率為(0.02＋0.02＋0.
01)×4＝0.2，人數為0.2×50＝10，即這50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人數為10.
(3)∵p(168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0.997 4，
∴p(ξ≥180)＝＝0.001 3.
∴0.001 3×100 000＝130.
∴全市前130名男生的身高在180 cm以上，這50人中180 cm以上的有2人．
隨機變數ξ可取0,1,2，於是
p(ξ＝0)＝＝，p(ξ＝1)＝＝，
p(ξ＝2)＝＝，
∴e(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
1．已知某種零件的尺寸ξ(單位：mm)服從正態分佈，其正態曲線在(0,80)上是增函式，在(80，＋∞)上是減函式，且f(80)＝.
(1)求概率密度函式；
(2)估計尺寸在72 mm～88 mm間的零件大約佔總數的百分之幾？
答案 (1)φμ，σ(x)＝e－ (2)68.26%
高三理科數學一輪複習計畫
2012 2013平江三中高三理數教學進度及複習計畫 一 目的 為了能做到有計畫 有步驟 有效率地完成高三數學學科教學複習工作，正確把握整個複習工作的節奏，明確不同階段的複習任務及其目標，做到針對性強，使得各方面工作的具體要求落實到位，特制定此計畫，並作出具體要求。二 計畫 1 第一輪複習順序 1 ...
2019屆高三理科數學一輪複習第14章 推理與證明
第十四章推理與證明 高考導航 知識網路 14.1 合情推理與演繹推理 典例精析 題型一運用歸納推理發現一般性結論 例1 通過觀察下列等式，猜想出乙個一般性的結論，並證明結論的真假.sin215 sin275 sin2135 sin230 sin290 sin2150 sin245 sin2105 s...
2019屆高三理科數學一輪複習配套題組層級快練
題組層級快練 十二 1 函式y log2 x 的影象大致是 答案 c 解析函式y log2 x 為偶函式，作出x 0時y log2x的影象，影象關於y軸對稱，應選c.2 2015 北京海淀一模 下列函式f x 影象中，滿足f f 3 f 2 的只可能是 答案 d 解析因為f f 3 f 2 所以函式...