2013版高三理科數學一輪複習 8.7答案
1.【解析】選a.＝＋＝＋
＝c＋(－)＝c＋(b－a)
＝－a＋b＋c.
2.【解析】選b.設正方體的稜長為2，以d為原點建立
如圖所示空間座標系，則＝(2，－2,1)，
＝(2,2，－1)，
∴cos〈，〉＝－，
∴sin〈，〉＝.
3. 【解析】選c.對於①，「如果向量a，b與任何向量不能構成空間向量的乙個基底，那麼a，b的關係一定是共線」，所以①錯誤，②③正確.
4. 【解題指南】通過·，·，·的符號判斷△bcd各內角的大小，進而確定出三角形的形狀.
【解析】選c
＝·－·－·＋2＝2>0，
同理·>0，·>0.故△bcd為銳角三角形.
5. 【解析】選c.若o是△bcd的重心，則
＝(＋＋)，
若＝(＋＋)，
則－＋－＋－＝0，
即＋＋＝0.
設bc的中點為p，則－2＋＝0，
∴＝－2，即o為△bcd的重心.
6. 【解析】選a.如圖，設＝a，
＝b，＝c，則a·b＝b·c＝c·a＝0.
由條件知＝＋＋
＝－(a＋b＋c)＋a＋c
＝a－b＋c
∴2＝a2＋b2＋c2＝，
∴||＝.
7.【解析】＝(1，－1,3)，＝(p－1，－2，q＋4)
由題設＝λ.∴，∴p＋q＝5. 答案：5
8.【解析】∵a，b，c，d四點共面，
∴＝m＋n＋p，且m＋n＋p＝1.
由條件知＝－2x－3y－4z，
∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1.∴2x＋3y＋4z＝－1.答案：－1
9.【解析】由題意知
＝8×4×cos45°－8×6×cos60°＝16－24.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴oa與bc所成角的余弦值為.答案：
【誤區警示】本題常誤認為〈，〉即為oa與bc所成的角.
10.【解析】(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)令＝t(t∈r)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若⊥b，則·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.
因此存在點e，使得⊥b，此時e點的座標為(－，－，).
【變式備選】已知b與a＝(2，－1,2)共線，且滿足a·b＝18，(ka＋b)⊥(ka－b)，求b及k的值.
【解析】∵a，b共線，
∴存在實數λ，使b＝λa.
∴a·b＝λa2＝λ|a|2＝λ() 2＝18，
解得λ＝2.
∴b＝(4，－2,4).
∵(ka＋b)⊥(ka－b)，∴(ka＋b)·(k a－b)＝0，
∴(ka＋2a)·(k a－2a)＝(k2－4)|a|2＝0，
∴k＝±2.
11.【解析】如圖，建立空間直角座標系oxyz.
(1)依題意得b(0,1,0)、n(1,0,1)，
∴||＝＝.
(2)依題意得a1(1,0,2)、b(0,1,0)、c(0,0,0)、b1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，·＝3，
||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
(3)依題意，得c1(0,0,2)、m(，，2)，＝(－1,1，－2)，＝(，，0).
∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥.
∴a1b⊥c1m.
【方法技巧】用向量法解題的常見型別及常用方法
(1)常見型別利用向量可解決空間中的平行、垂直、長度、夾角等問題.
(2)常用的解題方法 ①基向量法
先選擇一組基向量，把其他向量都用基向量表示，然後根據向量的運算解題；
②座標法
根據條件建立適當的空間直角座標系，並求出相關點的座標，根據向量的座標運算解題即可.
【**創新】
【解題指南】向量，，的模均為1，其夾角都是60°，故選取，，當基底，利用向量的運算求||的最小值.
【解析】設＝a，＝b，＝c，
由題意，知|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a， b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∵點p在平面abc上，∴存在實數x，y，z，
使＝x a＋y b＋z c，且x＋y＋z＝1，
∴2＝(x a＋y b＋z c)2
＝x2＋y2＋z2＋2xy a·b＋2yz b·c＋2xz a·c＝x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx
＝(x＋y＋z)2－(xy＋yz＋zx)＝1－(xy＋yz＋zx)
∵1＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx
＝[(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2)]＋2xy＋2yz＋2zx
≥(2xy＋2yz＋2zx)＋2xy＋2yz＋2zx＝3(xy＋yz＋zx)，∴xy＋yz＋zx≤，
當且僅當x＝y＝z＝時「＝」成立.
∴2≥1op|的最小值為.
高三理科數學一輪複習計畫
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