幾何證明選講
16.1 相似三角形的判定及有關性質
典例精析
題型一相似三角形的判定與性質
【例1】 如圖，已知在△abc中，d是bc邊的中點，且ad＝ac，de⊥bc，de與ab相交於點e，ec與ad相交於點f.
(1)求證：△abc∽△fcd；
(2)若s△fcd＝5，bc＝10，求de的長.
【解析】(1)因為de⊥bc，d是bc的中點，所以eb＝ec，所以∠b＝∠1.
又因為ad＝ac，所以∠2＝∠acb.所以△abc∽△fcd.
(2)過點a作am⊥bc，垂足為點m.因為△abc∽△fcd，bc＝2cd，所以＝()2＝4，又因為s△fcd＝5，所以s△abc＝20.因為s△abc＝bc·am，bc＝10，所以20＝×10×am，所以am＝4.
又因為de∥am，所以＝，因為dm＝dc＝，bm＝bd＋dm，bd＝bc＝5，所以＝，所以de＝.
【變式訓練1】如右圖，在△abc中，ab＝14 cm，＝，de∥bc，cd⊥ab，cd＝12 cm.求△ade的面積和周長.
【解析】由ab＝14 cm，cd＝12 cm，cd⊥ab，得s△abc＝84 cm2.
再由de∥bc可得△abc∽△ade.由＝()2可求得s△ade＝cm2.利用勾股定理求出bc，ac，再由相似三角形性質可得△ade的周長為15 cm.
題型二探求幾何結論
【例2】如圖，在梯形abcd中，點e，f分別在ab，cd上，ef∥ad，假設ef做上下平行移動.
(1)若＝，求證：3ef＝bc＋2ad；
(2)若＝，試判斷ef與bc，ad之間的關係，並說明理由；
(3)請你**一般結論，即若＝，那麼你可以得到什麼結論？
【解析】 過點a作ah∥cd分別交ef，bc於點g、h.
(1)因為＝，所以＝，
又eg∥bh，所以＝＝，即3eg＝bh，
又eg＋gf＝eg＋ad＝ef，從而ef＝(bc－hc)＋ad，
所以ef＝bc＋ad，即3ef＝bc＋2ad.
(2)ef與bc，ad的關係式為5ef＝2bc＋3ad，理由和(1)類似.
(3)因為＝，所以＝，
又eg∥bh，所以＝，即eg＝bh.
ef＝eg＋gf＝eg＋ad＝(bc－ad)＋ad，
所以ef＝bc＋ad，
即(m＋n)ef＝mbc＋nad.
【點撥】 在相似三角形中，平行輔助線是常作的輔助線之一；探求幾何結論可按特殊到一般的思路去獲取，但結論證明應從特殊情況得到啟迪.
【變式訓練2】如右圖，正方形abcd的邊長為1，p是cd邊上中點，點q**段bc上，設bq＝k，是否存在這樣的實數k，使得以q，c，p為頂點的三角形與△adp相似？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.
【解析】設存在滿足條件的實數k，
則在正方形abcd中，∠d＝∠c＝90°，
由rt△adp∽rt△qcp或rt△adp∽rt△pcq得＝或＝，
由此解得cq＝1或cq＝.
從而k＝0或k＝.
題型三解決線的位置或數量關係
【例3】(2009江蘇)如圖，在四邊形abcd中，△abc△bad，求證：ab∥cd.
【證明】 由△abc≌△bad得∠acb＝∠bda，所以a、b、c、d四點共圓，
所以∠cab＝∠cdb.
再由△abc≌△bad得∠cab＝∠dba，
所以∠dba＝∠cdb，即ab∥cd.
【變式訓練3】如圖，aa1與bb1相交於點o，ab∥a1b1且ab＝a1b1，△aob的外接圓的直徑為1，則△a1ob1的外接圓的直徑為 .
【解析】因為ab∥a1b1且ab＝a1b1，所以△aob∽△a1ob1
因為兩三角形外接圓的直徑之比等於相似比.
所以△a1ob1的外接圓直徑為2.
總結提高
1.相似三角形的判定與性質這一內容是平面幾何知識的重要組成部分，是解題的工具，同時它的內容滲透了等價轉化、從一般到特殊、分類討論等重要的數學思想與方法，在學習時應以它們為指導.相似三角形的證法有：
定義法、平行法、判定定理法以及直角三角形的hl法.
相似三角形的性質主要有對應線的比值相等(邊長、高線、中線、周長、內切圓半徑等)，對應角相等，面積的比等於相似比的平方.
2.「平行出相似」「平行成比例」，故此章中平行輔助線是常作的輔助線之一，遇到困難時應常考慮此類輔助線.
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