2009~2023年高考真題備選題庫
第6章不等式、推理與證明及不等式選講（選修4-5）
第1節不等關係與不等式
考點不等關係與不等式
1．（2013浙江，5分）若α∈r，則「α＝0」是「sin αa．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
解析：本題主要考查充要條件的判斷、三角函式值等基礎知識，意在考查考生的推理論證能力．當α＝0時，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α答案：a
2．（2013天津，5分）設a，b∈r則「(a－b)·a2<0」是「aa．充分而不必要條件
b．必要而不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
解析：本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，意在考查考生的邏輯推理能力．若(a－b)·a2<0，則a≠0，且a答案：a
3．（2011浙江，5分）若a，b為實數，則「0＜ab＜1」是「a＜或b＞」的( )
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
解析：對於0＜ab＜1，如果a＞0，則b＞0，a＜成立，如果a＜0，則b＜0，b＞成立，因此「0＜ab＜1」是「a＜或b＞」的充分條件；反之，若a＝－1，b＝2，結論「a＜或b＞」成立，但條件0＜ab＜1不成立，因此「0＜ab＜1」不是「a＜或b＞」的必要條件；即「0＜ab＜1」是「a＜或b＞」的充分而不必要條件．
答案：a
4．（2010浙江，5分）設0a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
解析：當0故xsinx<1xsinxsinx答案：b
5．（2010江蘇，5分）設x，y為實數，滿足3≤xy2≤8,4≤≤9，則的最大值是________．
解析：由題設知，實數x，y均為正實數，則條件可化為lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9，令lgx＝a，lgy＝b，則有，又設t＝，則lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b，令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b)，解得m＝－1，n＝2，即lgt＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴的最大值是27.
另解：將4≤≤9兩邊分別平方得，16≤≤81，①
又由3≤xy2≤8可得，≤≤，②
由①×②得，2≤≤27，即的最大值是27.
答案：27
6．(2011安徽，12分)(1)設x≥1，y≥1，證明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)設1logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
解：(1)由於x≥1，y≥1，所以
x＋y＋≤＋＋xy xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
將上式中的右式減左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，從而所要證明的不等式成立．
(2)設logab＝x，logbc＝y，由對數的換底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
於是，所要證明的不等式即為
x＋y＋≤＋＋xy，
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)可知所要證明的不等式成立．
第2節一元二次不等式及其解法
考點一元二次不等式
1．（2013天津，5分）已知函式f(x)＝x(1＋a|x|). 設關於x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集為a.若a, 則實數a的取值範圍是( )
ab.c.∪ d.
解析：本題考查函式與不等式的綜合應用，意在考查考生的數形結合能力．由題意可得0∈a，即f(a)0時無解，所以a<0，此時1－a2>0，所以－1答案：a
2.（2013陝西，5分）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建乙個面積不小於300 m2的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值範圍是( )
a．[15,20b．[12,25]
c．[10,30] d．[20,30]
解析：本題考查三角形相似的性質，考查考生構建函式和不等式模型，利用解不等式求解實際應用題的能力．如圖，過a作ah⊥bc於h，交de於f，易知＝＝＝＝，則有af＝x，fh＝40－x，由題意知陰影部分的面積s＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，即x∈[10,30]．
答案：c
3．(2013廣東，5分)不等式x2＋x－2<0的解集為________．
解析：本題考查一元二次不等式的解集，考查考生的運算能力及數形結合思想的領悟能力．令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)·(x－1)，畫出函式圖象可知，當－2答案：{x|－24．（2013江蘇，5分）已知f(x)是定義在r上的奇函式．當x>0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區間表示為________．
解析：本題考查奇函式的性質及一元二次不等式的解法，意在考查學生的化歸能力及運算能力．
由於f(x)為r上的奇函式，所以當x＝0時，f(0)＝0；當x<0時，－x>0，所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x，所以f(x)＝
由f(x)>x，可得或
解得x>5或－5所以原不等式的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
5．（2013四川，5分）已知f(x)是定義域為r的偶函式，當x≥0時，f(x)＝x2－4x，那麼，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．
解析：本題考查二次函式、不等式、函式的奇偶性，意在考查考生的運算能力和化歸的數學思想．當x≥0時，f(x)＝x2－4x＜5的解集為[0,5)，又f(x)為偶函式，所以f(x)＜5的解集為(－5,5)．所以f(x＋2)＜5的解集為(－7,3)．
答案：(－7,3)
6．（2011廣東，5分）不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
a．(－，1) b．(1，＋∞)
c．(－∞，1)∪(2d．(－∞，－)∪(1，＋∞)
解析：由原不等式得(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＜－或x＞1.
答案：d
7．（2011湖南，5分）已知函式f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，則b的取值範圍為( )
a．[2－，2＋] b．(2－，2＋)
c．[1,3] d．(1,3)
解析：函式f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必須使得－b2＋4b－3＞－1.即b2－4b＋2＜0，解得2－＜b＜2＋.
答案：b
8．（2012江蘇，5分）已知函式f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈r)的值域為[0，＋∞)，若關於x的不等式f(x)＜c的解集為(m，m＋6)，則實數c的值為________．
解析：因為f(x)的值域為[0，＋∞)，所以δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集為(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的兩根，由一元二次方程根與係數的關係得
解得c＝9.
答案：9
9．（2010江蘇，5分）已知函式f(x)＝，則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值範圍是________．
解析：由題意有或，
解得－1∴所求x的取值範圍為(－1，－1)．
答案：(－1，－1)
10． (2009·江蘇，16分)設a為實數，函式f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值範圍；
(2)求f(x)的最小值；
(3)設函式h(x)＝f(x)，x∈(a，＋ ∞)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集．
解：(1)因為f(0)＝－a|－a|≥1，
所以－a>0，即a<0.
由a2≥1知a≤－1.
因此，a的取值範圍為(－∞，－1]．
(2)記f(x)的最小值為g(a)．我們有
f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|
＝(i)當a≥0時，f(－a)＝－2a2，
由①②知f(x)≥－2a2，此時g(a)＝－2a2.
(ⅱ)當a<0時，f()＝a2.
若x>a，則由①知f(x)≥a2；
若x≤a，則x＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>a2.
此時g(a)＝a2.
綜上得g(a)＝
(3)①當a時，
解集為(a，＋∞)；
②當a∈－，)時，
解集為，＋∞)；
③當a∈(－，－)時，
解集為(a， ∪，＋∞)．
第4節二元一次不等式（組）及簡單的線性規劃問題
考點一二元一次不等式（組）與平面區域
1．（2013山東，5分）在平面直角座標系xoy中，m為不等式組所表示的區域上一動點，則直線om斜率的最小值為( )
a．2b．1
c．－ d．－
解析：本題考查二元一次不等式組所表示的平面區域，考查兩點間斜率的幾何意義等基礎知識，考查數形結合思想，考查運算求解能力．已知的不等式組表示的平面區域如圖中陰影所示，顯然當點m與點a重合時直線om的斜率最小，由直線方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得a(3，－1)，故om斜率的最小值為－.
第六章不等式 推理與證明
第一節不等關係與不等式 基礎盤查一兩個實數比較大小的方法 一 循綱憶知 1 了解現實世界和日常生活中的不等關係 2 了解不等式 組 的實際背景 二 小題查驗 判斷正誤 1 不等關係是通過不等式來體現的，離開了不等式，不等關係就無從體現 2 兩個實數a，b之間，有且只有a b，a b，a b三種關係中...
第六章不等式推理與證明
時間120分鐘，滿分150分 一 選擇題 本大題共12小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 不等式 x 1 0的解集是 a b c d 解析 0，x 1.同時x 1 0，即x 1.x 1.答案 b 2 下列命題中的真命題是 a 若a b，c d，則ac ...
6 5第六章不等式 推理與證明
課後課時作業 a組 基礎達標練 1 2015 鷹潭二模 x 表示不超過x的最大整數，例如 3.s13s210 s321，依此規律，那麼s10等於 a 210 b 230 c 220 d 240 答案 a 解析 x 表示不超過x的最大整數，s11 3 3，s22 5 10，s33 7 21，snn 2...