歸納、猜想、證明
100080 北京中國人民大學附中梁麗平
題型**
觀察、歸納、猜想、證明是解決探索性問題的重要思維方法，也是高考考查的熱點．
範例選講
例1．已知數列滿足，對於任意的n∈n，都有＞0，且.又知數列滿足：.
(ⅰ)求數列的通項以及它的前n項和；
(ⅱ)求數列的前n項和；
(ⅲ)猜想和的大小關係，並說明理由.
講解：是關於的二次齊次式，故可利用求根公式得到的更為明顯的關係式，從而求出．
(ⅰ)∵＞0（ｎ∈n），且，
∴ (n+1)．
∴．∵＞0（ｎ∈n），
∴．即．
∴．又,所以，．
∴．(ⅱ)∵，
∴．(ⅲ)．
當n=1時，， ∴；
當n=2時，， ∴；
當n=3時，， ∴；
當n=4時，， ∴；
當n=5時，， ∴；
當n=6時，， ∴；
猜想：當時，.即.下用數學歸納法證明：
1° 當n=5時，前面已驗證成立；
2° 假設(k≥5)時命題成立，即成立，那麼當n=k+1(k≥5)時，
．即n=k+1(k≥5)時命題也成立．
由以上1°、2°可知，當n≥5時，有；
綜上可知：當n=1時，；當時，，當n≥5時，有．
點評：注意到的增長速度大於的增長速度，所以，在觀察與歸納的過程中，不能因為從n=1到n=4都有就得出的結論，而應該堅信：必存在，使得，從而使得觀察的過程繼續下去．
例2 已知數列中，．
（ⅰ）是否存在自然數m，使得當時，；當時，？
（ⅱ）是否存在自然數p，使得當時，總有？
講解：（ⅰ）首先考慮能否化簡已知條件，但事實上這一條路走不通，於是，我們轉而考慮通過計算一些的值來尋找規律．不難得到：
，，，，，，
可以看出：均大於2，從到均小於2，但能否由此斷定當時，也有？這就引導我們去思考這樣乙個問題：若，能否得出？
為此，我們考查與的關係，易得
．可以看出：當時，必有．於是，我們可以確定：當時，必有．
為了解決問題（ⅰ），我們還需驗證當時，是否均有．
方法之一是一一驗證．即通過已知條件解出：．由此，我們可以從出發，計算出這個數列的第6項到第1項，從而得出結論．
另外，得益於上述解法，我們也可以考慮這樣的問題：「若，能否得出」？
由不難得知：上述結論是正確的．
所以，存在，使得當時，；當時，．
（ⅱ）問題等價於：是否存在自然數p，使得當時，總有．
由（ⅰ）可得：．
我們已經知道：當時，，於是，所以，我們只需考慮：是否存在不小於10的自然數p，使得當時，總有？
觀察前面計算的結果，可以看出： ，均大於-3，可以猜想： 即可滿足條件．
這樣的猜想是否正確？我們只需考查與的關係：
由可知：上述結論正確．
另外，如果我們注意到從到，數列的項呈遞增的趨勢，則也可以考慮．
由〉0，從而得出結論．
點評：（1）歸納、猜想是建立在細緻的觀察和縝密的分析基礎上的，並非無源之水、無本之木．（2）上述分析的過程如果用數學歸納法寫出，則相當簡潔，但同時也掩蓋了思維的過程．
高考真題
1. （2023年全國高考）已知數列是等差數列,＝1,.
①求數列的通項;
②設數列的通項＝(其中且≠1),記是數列的前n項和.試比較與的大小,並證明你的結論.
2. （2023年全國高考）設數列滿足：
（1） 當時，求，並由此猜想出的乙個通項公式；
（2） 當時，證明對所有的，有
（i）；
（ii）．
[答案與提示：1．（1）． （2）當時， >；當時， <． 2．（1），（2）略．]
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