專題簡析：
數學開放題是相對於傳統的封閉題而言的一種題型。由於客觀世界複雜多變，數學問題也必然複雜多變，往往不可能得到唯一答案。
一般而言，數學開放題具有以下三個特徵：
1、條件不足或多餘；
2、沒有確定的結論或結論不唯一；
3、解題的策略、思路多種多樣。
解答數學開放題，需要我們從不同角度分析和思考問題，緊密聯絡實際，具體問題具體分析。我們一般可以從以下幾方面考慮：
1、以問題為指向，對現有條件進行篩選、補充和組合，促進問題的順利解決；
2、根據知識之間的不同聯絡途徑對給定的條件進行不同的組合，採用不同的方法求解；
3、避免「答案唯一」的僵化思維模式，聯絡實際考慮可能出現的多種情況，得出不同的答案。
例1：a、b都是自然數，且a＋b=10，那麼a×b的積可能是多少？其中最大的值是多少？
分析與解答：
由條件「a、b都是自然數，且a＋b=10」，可知a的取值範圍是0 ~ 10，b的取值範圍的10 ~ 0。不妨將符合題意的情形一一枚舉出來：
0×10=0 1×9=9 2×8=16 3×7=21 4×6=24 5×5=25
a×b的積可能是0、9、16、21、24、25。當a=b=5時，a×b的積的最大值是25。
從以上過程發現，當兩個數的和一定時，兩個數的差越小，積越大。
隨堂練習：
甲、 乙兩數都是自然數，且甲＋乙=32，那麼，甲×乙的積的最大值是多少？
例2：把1 ~ 5五個數分別填入圖中的五個圓圈內，使每條直線上三個圓圈內各數的和是9。
分析與解答：
每條直線上三個圓圈內各數的和是9，兩條直線上數的和等於9×2=18（其中中間圈內的數重複加了一次）。而1、2、3、4、5的和為15，18－15=3。所以，中間圈內應填3。
這樣，兩條直線上的圓圈中可以分別填1、3、5與2、3、4。這個解我們也叫做基本解，由這個基本解很容易得出其餘的七個解。
隨堂練習：
把1 ~ 5五個數分別填入圖中的五個圓圈內，使每條直線上三個圓圈內各數的和是10。
例3：把1 ~ 6六個數分別填入圖中的六個圓圈中，使每條邊上三個數的和都等於9。
分析與解答：
每邊上三個數的和都等於9，三條邊上數的和等於9×3=27，27－（1＋2＋3＋4＋5＋6）=6。所以，三個頂點處被重複加了一次的三個數的和為6。在1 ~ 6，只有1＋2＋3=6，故三個頂點只能填1、2、3。
這樣就得到一組解：1、5、3；1、6、2；3、4、2。
隨堂練習：
把1 ~ 6六個數分別填入圖中的六個圓圈中，使每條邊上三個數的和都等於12。
例4：在一次羽毛球比賽中，8名運動員進行淘汰賽，最後決出冠軍。共打了多少場比賽？（兩名運動員之間比賽一次稱為一場）
分析與解答：8名運動員進行淘汰賽，第一輪賽4場後，剩下4名運動員；第二輪賽2場後，剩下2名運動員；第三輪只需再賽1場，就能決出冠軍。所以，共打了4＋2＋1=7場球。
還可以這樣想：8名運動員進行淘汰賽，每淘汰1名運動員，需要進行1場比賽，整個比賽共需要淘汰8－1=7名運動員，所以共打了7場比賽。
隨堂練習：
在一次桌球比賽中，32名運動員進行淘汰賽，最後決出冠軍，共打了多少場球？
例5：乙個學生從家到學校，如果以每分鐘50公尺的速度行走，就要遲到8分鐘；如果以每分鐘60公尺的速度前進，就可以提前5分鐘到校。這個學生出發時離上學時間有多少分？
分析與解答：
解答這道題，可以以不同的時間為標準，選擇的標準不同，解答方法也有所不同。例如，如果直接以這個學生出發時離上學的時間為標準。可這樣分析：
由「每分鐘行50公尺，要遲到8分鐘」，可知學校上課時，這個學生還離學校50×8=400公尺；由「每分鐘行60公尺，可以提前5分鐘到校」，可知距學校上課時，他還可走60×5=300公尺。兩種不同的速度，在相同的時間內路程相差400＋300=700公尺，而兩種速度每分鐘相差60－50=10公尺。因此，這個學生出發時離上課時間為：
700÷10=70分鐘。
解法一：（50×8＋60×5）÷（60－50）=70分；
解法二：60×（5＋8）÷（60－50）－8=70分；
解法三：50×（8＋5）÷（60－50）＋5=70分。
隨堂練習：
***從家到學校上班，出發時他看看表，發現如果步行，每分鐘80公尺，他將遲到5分鐘；如果騎自行車，每分鐘行200公尺，他可以提前7分鐘到校。***出發時離上班時間有多少分？
1、a、b兩個自然數的積是24，當a和b各等於多少時，它們的和最小？
2、a、b、c三個數都是自然數，且a＋b＋c=18，那麼a×b×c的積的最大值是多少？
3、把3 ~ 7五個數分別填入圖中的五個圓圈內，使每條直線上三個圓圈內各數的和相等而且最大。
4、把1 ~ 7七個數分別填入圖中的七個圓圈內，使每條直線上三個圓圈內各數之和相等。
5、把1 ~ 8八個數分別填入圖中的八個圓圈中，使每個圓圈上五個數的和都等於21。
6、把1 ~ 9這九個數分別填入圖中的九個圓圈中，使每條邊上四個數的和相等而且最小。
7、在一次足球比賽中，採取淘汰制，共打了11場球，最後決出冠軍。共有多少支足球隊參加了這次比賽？
8、有13個隊參加籃球賽，比賽分兩個組。第一組7個隊，第二組6個隊。各組先進行單迴圈賽（即每隊都要與其他各隊比賽一場），然後由各組的前兩名共4個隊再分成兩組進行淘汰賽，最後決出冠、亞軍。
共需比賽多少場？
9、一位小學生從家到學校，如果以每分50公尺的速度行走，就遲到3分鐘；如果以每分70公尺的速度行走，就可以提前5分到校。求他家到學校的距離。
10、乙個學生從家到學校上課，先用每分鐘80公尺的速度走了3分鐘，發現這樣走下去將遲到3分鐘；於是他就改用每分鐘110公尺的速度前進，結果比上課提前了3分鐘。這個學生家離學校有多遠？
第4講生活中的數學
典型例題 例1 小麗養了19只小雞，養的小鴨比小雞多5只，小麗養了多少只小鴨？想一想 畫線段圖分析 19 5 24 只 答 小麗養了24只小雞。練一練1 運動場上有16個同學踢足球，打籃球的人比踢足球的多8人，一共有多少人踢足球？練一練2 王麗期中測試中語文考了86分，數學比語文多考了7分，王麗數學...
第4講相似
一 知識梳理 1.比例線段的有關概念 b d叫後項，d叫第四比例項，如果b c，那麼b叫做a d的比例中項.把線段ab分成兩條線段ac和bc，使ac2 ab bc，叫做把線段ab 分割，c叫做線段ab的 分割點.2.比例性質 3.平行線分線段成比例定理 定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比...
學生第4講數學歸納法
第4講數學歸納法 基礎梳理 1 歸納法 由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，通常叫做歸納法 根據推理過程中考查的物件是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法 2 數學歸納法 1 數學歸納法 設是乙個與正整數相關的命題集合，如果 證明起始命題p1 或p0 成立 在假設pk成立的前...