函式的基本性質
100080 北京中國人民大學附中梁麗平
題型**
函式的性質主要包括：函式的單調性、奇偶性和週期性。函式是中學數學的重要內容，函式的性質也是高考考查的重中之重。
高考對本部分內容的要求較高，不僅要求熟練掌握這些性質，還要求能夠運用定義去證明和判斷，以及能夠靈活運用這些性質解題。
範例選講
例1 對於滿足的一切實數，不等式恆成立，試求的取值範圍。
講解不等式很容易讓我們聯想到二次函式：
基於這種認識，本題實質上就是：對於二次曲線系（），考慮使得恆成立的的取值範圍。
對於每乙個給定的，由於的二根分別為，記，，則的解集為：
= 所以，當在區間上變化時，使得恆成立的的取值範圍就是所有的交集。
因為，所以，的最大值為3，的最小值為。
所以，本題的答案應該為：。
上述解法實際上源於我們思維的一種定勢，即習慣於把當作變數，而把其餘的字母作為引數。而事實上，在上面的不等式中，與的地位是平等的。如果我們換乙個角度看問題，即把作為自變數，而把作為引數，則可以得到下面的另一種較為簡潔的解法：
考慮關於的函式：，
可以看到：是關於的一次函式或常數函式，要使得對於滿足的一切實數，恆成立，由函式的單調性可知，需且只需：
解之得：或。
點評 （1）不等式與函式有著千絲萬縷的聯絡，通過適當的轉化，可以使得問題的表述更接近於我們熟悉的知識，從而得解。（2）注意利用函式的性質解題。（3）注重問題的本質。
在熟悉通性通法的同時，也要敢於打破思維定勢，換乙個角度看問題。
例2 設是定義在[-1，1]上的偶函式，與的圖象關於直線對稱。且當時，
（1）求函式的表示式；
（2）在或的情況下，分別討論函式的最大值，並指出為何值時，的影象的最高點恰好落在直線上。
講解 （1）注意到是定義在區間上的函式，因此，根據對稱性，我們只能求出在區間上的解析式，在區間上的解析式，則可以根據函式的奇偶性去求。
當時，，由於與的圖象關於直線對稱，所以，
當時，，由為偶函式，可知：
所以，（2）因為為偶函式，所以，（）的最大值，必等於在區間上的最大值。故只需考慮的情形，此時，。
對於這個三次函式，要求其最大值，比較容易想到的方法是：考慮其單調性。因此，我們不妨在區間上任取，設，則
如果,則，故<0，即在區間上單調遞增。所以，的最大值在取得，為。
令=12可解得：
如果，則的符號不能確定，為確定的單調區間，可令<0
由於，要使上式成立，只需：，即，由此我們不難得知：
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減。（證明略）
所以，在區間上的最大值為。
令=12，解之得：，與矛盾。
綜上可知：當時，的最大值為，當時，的最大值為。
並且，當時，函式的影象的最高點恰好落在直線上。
點評 （1）本題中，時，運用單調性去求的最值顯然較為複雜。其實，如果我們注意到，且均非負，則可利用基本不等式得到下面較為簡潔的解法：
等號當且僅當時成立。
然而，這種解法並不適用於的情形。也就是說：單調性與基本不等式在處理函式的最值問題時各有所長，對於本題來說，並沒有一種普適的方法，只能分而治之。
（2）奇偶性可以使得我們在研究函式性質時，將問題簡化到定義域的對稱區間上。
高考真題
1. （2023年北京春季高考）已知是偶函式，而且在上是減函式，判斷在上是增函式還是減函式，並加以證明。
2. （2023年全國高考）設是定義在r上以2為週期的函式，對k∈z，用表示區間(2k－1，2 k＋1)，已知當時，.
①求在上的解析表示式；
②對自然數k，求集合＝
[答案與提示：1.增函式，證明略。2. ①當時，；②對自然數k，集合＝]
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