第30講幾何綜合2
內容概述
勾股定理，多邊形的內角和，兩直線平行的判別準則，由平行線形成的相似三角形中對應線段和面積所滿足的比例關係．與上述知識相關的幾何計算問題．各種具有相當難度的幾何綜合題．
典型問題
2．如圖30-2，已知四邊形abcd和cefg都是正方形，且正方形abcd的邊長為10厘公尺，那麼圖中陰影三角形bfd的面積為多少平方厘公尺?
【分析與解】 方法一：因為cefg的邊長題中未給出，顯然陰影部分的面積與其有關．設正方形cefg的邊長為x，有：
又陰影部分的面積為:
(平方厘公尺).
方法二：連線fc，有fc平行與db，則四邊形bcfd為梯形．
有△dfb、△dbc共底db，等高，所以這兩個三角形的面積相等，顯然,△dbc的面積(平方厘公尺)．
陰影部分△dfb的面積為50平方厘公尺．
4.如圖30-4，∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g+∠h+∠i等於多少度?
【分析與解】 為了方便所述，如下圖所示，標上數字，
有∠i=1800 -(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3, ∠2=1800-∠4,有∠i=∠3+∠4-1800
同理, ∠h=∠4+∠5-1800, ∠g=∠5+∠6-1800, ∠f=∠6+∠7-1800, ∠e=∠7+∠8-1800,
∠d=∠8+∠9-1800, ∠c=∠9+∠10-1800, ∠b=∠10+∠11-1800, ∠a=∠11+∠3-1800
則∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g+∠h+∠i=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800
而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9邊形的內角和為(9-2)×1800=12600．
所以∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g+∠h+∠i=2×12600-9×1800=9000
6．長邊和短邊的比例是2：1的長方形稱為基本長方形．考慮用短邊互不相同的基本長方形拼圖，要求任意兩個基本長方形之間既沒有重疊，也沒有空隙.現在要用短邊互不相同且最小短邊長為1的5個基本長方形拼接成乙個更大的長方形．例如，短邊長分別是1，2，5，6，12的基本長方形能拼接成大長方形，具體案如圖30-6所示．請給出這5個基本長方形所有可能的選擇方式.
設a1=1
【分析與解】 我們以幾個不同的基本長方形作為分類依據，並按邊長遞增的方式一一列出．
第一類情況：以為特徵的有7組：
第二類情況：以為特徵的有6組：
第三類情況有如下三組：
共有16組解，它們是：
(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．
(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．
(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，
(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，
(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，
(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12).
(1,2,2.4,4.8,5),
.8.如圖30-8，abcd是平行四邊形，面積為72平方厘公尺，e，f分別為邊ab,bc的中點．則圖形中陰影部分的面積為多少平方厘公尺?
【分析與解】 如下圖所示，連線ec，並在某些點處標上字母，
因為ae平行於dc，所以四邊形aecd為梯形，有ae:dc=1:2，所以,
,且有,所以,而這兩個三角形高相同，面積比為底的比，即eg：gd=1:2，同理fh：hd=1:2．
有,而(平方厘公尺)
有eg:gd=,
所以(平方厘公尺) (平方厘公尺)
同理可得(平方厘公尺), (平方厘公尺) , (平方厘公尺)
又=24-12=12(平方厘公尺)
所以原題平行四邊形中空白部分的面積為6+6+12=24(平方厘公尺)，所以剩下的陰影部分面積為72-24=48(平方厘公尺)．
10．圖30-10是乙個正方形，其中所標數值的單位是厘公尺．問：陰影部分的面積是多少平方厘公尺?
【分析與解】 如下圖所示，為了方便所敘，將某些點標上字母，並連線bg．
設△aeg的面積為x，顯然△ebg、△bfg、△fcg的面積均為x，則△abf的面積為3x，即，那麼正方形內空白部分的面積為. 所以原題中陰影部分面積為(平方厘公尺)．
12．如圖30-12，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個小圓和三個半圓的半徑長都是1．求陰影部分的面積．
【分析與解】 如下圖所示，左圖中的3個陰影部分面積相等，右圖中的3個陰影部分的面積也相等．我們把左下圖中的每一部分陰影稱為a，右下圖中的每一部分陰影稱為b．
大半圓的面積為小圓的面積.
而小圓的面積為，則，
原題圖中的陰影部分面積為小半圓面積與陰影a、b的面積和，即為
14.如圖30-14，將長方形abcd繞頂點c順時針旋轉90度，若ab=4，bc=3，ac=5，求ad邊掃過部分的面積．(取3.14)
【分析與解】 如下圖所示，
如下圖所示，端點a掃過的軌跡為，端點d掃過軌跡為，而ad之間的點，掃過的軌跡在以a、d軌跡，ad，所形成的封閉圖形內，且這個封閉圖形的每一點都有線段ad上某點掃過，所以ad邊掃過的圖形為陰影部分．
顯然有陰影部分面積為,而直角三角形、acd面積相等．
所以即ad邊掃過部分的面積為7．065平方厘公尺．
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