平行線（垂線）的性質與判定問題
【知識梳理】：
1、兩條直線相交所成的角中，有乙個是直角，這兩條直線叫作互相垂直，其中一條直線叫作另一條的垂線，它們的交點叫垂足。
2、在平面內，如果一直線垂直於兩平行線中的一條，那麼這直線必垂直於另一條。
3、在平面內，垂直於同一條直線的兩條直線平行。
4、在平面內，通過一點有一條且只有一條直線與已知直線垂直。
5、垂線段最短
6直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫這點到直線的距離。
7兩平行線的公垂線段的長度叫兩平行線間的距離
例1、填空題
1．如右圖，直線ａｂ與ｃｄ相交於點ｏ，ｅｏ⊥ａｂ，垂足為ｏ，則圖中∠1和∠2的關係是
2．如圖垂足分別為ｄ、ｇ，若∠1＝∠2，且∠ｂ＝75°，則∠ａｄｅ為（ ）．
ａ．15° ｂ．355575°
例2 如圖 1－20，直線a∥b，直線 ab交 a與 b於 a，b，ca平分∠1，cb平分∠ 2，求證：∠c=90°
想一想：這個問題的「反問題」是否成立， 即「兩條直線a，b被直線ab所截(如圖1－20所示)，ca，cb分別是∠bae與∠abf的平分線，若∠c=90°，問直線a與直線b是否一定平行？」
【鞏固】：1、如圖1－21所示，aa1∥ba2，求證：∠a1 +∠a2=∠b1．
想一想：(1)從證題的過程可以發現，問題的實質在於aa1∥ba2，它與連線a1，a2兩點之間的折線段的數目無關，如圖1－23所示．連線a1，a2之間的折線段增加到4條：a1b1，b1a2，a2b2，b2a3，仍然有∠a1+∠a2+∠a3=∠b1+∠b2．(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠a1-∠b1+∠a2-∠b2+∠a3=0．
進一步可以推廣為∠a1-∠b1+∠a2-∠b2＋…-∠bn-1+∠an=0．這時，鏈結a1，an之間的折線段共有n段a1b1，b1a2，…，bn-1an(當然，仍要保持 aa1∥ban)．
推廣是一種發展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質，那麼，在本質不變的情況下，可以將問題推廣到複雜的情況．
(2)這個問題也可以將條件與結論對換一下，變成乙個新問題．
問題1 如圖1－24所示．∠a1+∠a2=∠b1，問aa1與ba2是否平行？
問題2 如圖1－25所示．若∠a1+∠a2+…+∠an=∠b1+∠b2+…+∠bn-1，問aa1與ban是否平行？
例3、如圖1－26所示．ae∥bd，∠1=3∠2，∠2=25°，
求∠c．
分析利用平行線的性質，可以將角「轉移」到新的位置，如∠1=∠dfc或∠afb．若能將∠1，∠2，∠c「集中」到乙個頂點處，這是最理想不過的了，過f點作bc的平行線恰能實現這個目標．
【鞏固】1：求證：三角形內角之和等於180°．（利用圖1-27）
【鞏固2】：求證：四邊形內角和等於360°．（利用圖1-28）
說明：總結例3、例4，並將結論的敘述形式變化，可將結論加以推廣：
三角形內角和=180°=(3-2)×180°，
四邊形內角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．
人們不禁會猜想：五邊形內角和=(5-2)×180°=540°，
n邊形內角和=(n-2)×180°．
這個猜想是正確的，它們的證明在學過三角形內角和之後，證明將非常簡單．
【例3 】如圖1－29所示．直線l的同側有三點a，b，c，且ab∥l，bc∥l．求證： a，b，c三點在同一條直線上．
分析a，b，c三點在同一條直線上可以理解為∠abc為平角，即只要證明射線ba與bc所夾的角為180°即可，考慮到以直線l上任意一點為頂點，該點分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結合所給平行條件，過b作與l相交的直線，就可將l上的平角轉換到頂點b處．
思考若將問題加以推廣：在l的同側有n個點a1，a2，…，an-1，an，且有aiai+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否還有同樣的結論？
【鞏固1】：如圖1－30所示．∠1=∠2，∠d=90°，ef⊥cd．
求證：∠3=∠b．
【家庭作業】
1．如圖1－31所示．已知ab∥cd，∠b=100°，ef平分∠bec，eg⊥ef．求∠beg和∠deg．
2．如圖1－32所示．cd是∠acb的平分線，∠acb=40°，∠b=70°，de∥bc．求∠edc和∠bdc的度數．
3．如圖1－33所示．ab∥cd，∠bae=30°，∠dce=60°，ef，eg三等分∠aec
問：ef與eg中有沒有與ab平行的直線，為什麼？
5．如圖1－34所示．已知cd平分∠acb，且de∥accd∥ef．
求證：ef平分∠deb．
初一下期奧數 第7講
第七講因式分解 知識梳理 一 因式分解的意義 把乙個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，其操作過程叫分解因式。其中每乙個整式叫做積的因式。二 因式分解的方法 1 常用方法有提公因式法 公式法 分組分解法 十字相乘法等，通常根據多項式的項數來選擇分解的方法。2 一些複雜的因式分解的...
初一下期半期總結
3 關注平時學習。關愛學生，給學生以親切感，是每乙個教師應該時刻重視的問題。關愛學生不僅體現在思想 生活上的關心，更要在平時的學習中關心。在學生作業方面的關注成了年段 班級 任課教師的頭等大事，做了種種嘗試和 採取各種措施來減少 杜絕學生抄襲作業的行為。一是思想交流，二是個別輔導，三是家長監督，四是...
初一下期學生評語
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