第1講定義新運算
一、知識要點
定義新運算是指運用某種特殊符號來表示特定的意義，從而解答某些算式的一種運算。
解答定義新運算，關鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然後嚴格按照新定義的計算程式，將數值代入，轉化為常規的四則運算算式進行計算。
定義新運算是一種人為的、臨時性的運算形式，它使用的是一些特殊的運算符號，如：*、△、⊙等，這是與四則運算中的「＋、－、×、÷」不同的。
新定義的算式中有括號的，要先算括號裡面的。但它在沒有轉化前，是不適合於各種運算定律的。
二、精講精練
【例題1】假設a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路導航】這題的新運算被定義為：a*b等於a和b兩數之和加上兩數之差。這裡的「*」就代表一種新運算。
在定義新運算中同樣規定了要先算小括號裡的。因此，在13*（5*4）中，就要先算小括號裡的（5*4）。
練習1：
1.將新運算「*」定義為：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。
2.設a*b=a2+2b，那麼求10*6和5*（2*8）。
3.設a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例題2】設p、q是兩個數，規定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。
【思路導航】根據定義先算4△6。在這裡「△」是新的運算符號。
練習2：
1．設p、q是兩個數，規定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．設p、q是兩個數，規定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。
3．設m、n是兩個數，規定m*n＝m/n+n/m，求10*20－1/4。
【例題3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那麼7*4210*2
【思路導航】經過觀察，可以發現本題的新運算「*」被定義為。因此
練習3：
1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那麼4*4
2．規定那麼8*5
3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那麼（6*3）÷（2*6
【例題4】規定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×a，那麼，a是幾？
【思路導航】這題的新運算被定義為：@ = （a－1）×a×（a＋1），據此，可以求出1/⑥－1/⑦ =1/（5×6×7）－1/（6×7×8），這裡的分母都比較大，不易直接求出結果。根據1/⑥－1/⑦ =1/⑦×a，可得出a = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ = （1/⑥－11。
即練習4：
1．規定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×a，那麼a
2．規定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那麼
3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那麼x※3＝54中，x
【例題5】設a⊙b=4a－2b+1/2ab,求z⊙（4⊙1）＝34中的未知數x。
【思路導航】先求出小括號中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，再根據x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16 = 12x－32，然後解方程12x－32 = 34，求出x的值。列算式為
練習5：
1．設a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7求x。
2．對兩個整數a和b定義新運算「△」：a△b= ，求6△4+9△8。
3．對任意兩個整數x和y定於新運算，「*」：x*y＝ （其中m是乙個確定的整數）。如果1*2＝1，那麼3*12
第2講簡便運算（一）
一、知識要點
根據算式的結構和數的特徵，靈活運用運算法則、定律、性質和某些公式，可以把一些較複雜的四則混合運算化繁為簡，化難為易。
二、精講精練
【例題1】計算4.75-9.63+（8.25-1.37）
【思路導航】先去掉小括號，使4.75和8.25相加湊整，再運用減法的性質：a－b－c = a－（b＋c），使運算過程簡便。所以
原式＝4.75+8.25－9.63－1.37
＝13－（9.63+1.37）
＝13－11
＝2練習1：計算下面各題。
1． 6.73－2 又8/17+（3.27－1又9/17）
2. 7又5/9－（3.8+1又5/9）－1又1/5
3. 14.15－（7又7/8－6又17/20）－2.125
4. 13又7/13－（4又1/4+3又7/13）－0.75
【例題2】計算333387又1/2×79+790×66661又1/4
【思路導航】可把分數化成小數後，利用積的變化規律和乘法分配律使計算簡便。所以：原式＝333387.5×79+790×66661.25
＝33338.75×790+790×66661.25
＝（33338.75+66661.25）×790
＝100000×790
＝79000000
練習2：計算下面各題：
1. 3.5×1又1/4+125％+1又1/2÷4/5
2. 975×0.25+9又3/4×76－9.75
3. 9又2/5×425+4.25÷1/60
4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7
【例題3】計算：36×1.09+1.2×67.3
【思路導航】此題表面看沒有什麼簡便演算法，仔細觀察數的特徵後可知：36 = 1.2×30。這樣一轉化，就可以運用乘法分配律了。所以
原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3
＝1.2×（30×1.09+1.2×67.3）
＝1.2×（32.7+67.3）
＝1.2×100
＝120
練習3：計算：
1. 45×2.08+1.5×37.6
2. 52×11.1+2.6×778
3. 48×1.08+1.2×56.8
4. 72×2.09－1.8×73.6
【例題4】計算：3又3/5×25又2/5＋37.9×6又2/5
【思路導航】雖然3又3/5與6又2/5的和為10，但是與它們相乘的另乙個因數不同，因此，我們不難想到把37.9分成25.4和12.
5兩部分。當出現12.5×6.
4時，我們又可以將6.4看成8×0.8，這樣計算就簡便多了。
所以原式＝3又3/5×25又2/5＋（25.4+12.5）×6.4
＝3又3/5×25又2/5＋25.4×6.4＋12.5×6.4
＝（3.6+6.4）×25.4＋12.5×8×0.8
＝254＋80
＝334
練習4：
計算下面各題：
1．6.8×16.8＋19.3×3.2
2．139×137/138＋137×1/138
3．4.4×57.8＋45.3×5.6
【例題5】計算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5
【思路導航】先分組提取公因數，再第二次提取公因數，使計算簡便。所以
原式＝81.5×（15.8＋51.8）＋67.6×18.5
＝81.5×67.6＋67.6×18.5
＝（81.5＋18.5）×67.6
＝100×67.6
＝6760
練習5：
1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5
2．235×12.1＋+235×42.2－135×54.3
3．3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5
第3講簡便運算（二）
一、知識要點
計算過程中，我們先整體地分析算式的特點，然後進行一定的轉化，創造條件運用乘法分配律來簡算，這種思考方法在四則運算中用處很大。
二、精講精練
【例題1】計算：1234＋2341＋3412＋4123
【思路導航】整體觀察全式，可以發現題中的4個四位數均由數1，2，3，4組成，且4個數字在每個數字上各出現一次，於是有
原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111
＝（1＋2＋3＋4）×1111
＝10×1111
＝11110
練習1：
1．23456＋34562＋45623＋56234＋62345
2．45678＋56784＋67845＋78456＋84567
3．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68
【例題2】計算：2又4/5×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28
【思路導航】我們可以先整體地分析算式的特點，然後進行一定的轉化，創造條件運用乘法分配律來簡算。所以
原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2
＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8× 7.2
＝2.8×88.8＋88.8×7.2
＝88.8×（2.8＋7.2）
＝88.8×10
＝888
練習2：計算下面各題：
1．99999×77778＋33333×66666
2．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45
3．77×13＋255×999＋510
【例題3】計算（1993×1994－1）/（1993＋1992×1994）
【思路導航】仔細觀察分子、分母中各數的特點，就會發現分子中1993×1994可變形為1992＋1）×1994=1992×1994＋1994，同時發現1994－1 = 1993，這樣就可以把原式轉化成分子與分母相同，從而簡化運算。所以
原式＝【（1992＋1）×1994－1】/（1993＋1992×1994）
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