16、特殊解題方法
【窮舉法】 解答某些數學題，可以把問題所涉及到的數量或結論的有限種情況，不重複不遺漏地全部列舉出來，以達到解決問題的目的。這種解題方法就是窮舉法。
例1 從甲地到乙地有a、b、c三條路線，從乙地到丙地有d、e、f、g四條路線。問從甲地經過乙地到達丙地共有多少條路線？（如圖3．28）
分析：從甲地到乙地有3條路線，從乙地到丙地有4條路線。從甲地經過乙地到達丙地共有下列不同的路線。
解：3×4＝12
答：共有12條路線。
例2 如果一整數，與1、2、3這三個數，通過加減乘除運算（可以新增括號）組成算式，能使結果等於24，那麼這個整數就稱為可用的。在4、5、6、7、8、9、10、11、12這九個數中，可用的有_______個。（2023年小學數學奧林匹克初賽試題）
分析：根據題意，用列式計算的方法，把各算式都列舉出來。
4×（1＋2＋3）＝24 （5＋1＋2）×3＝24
6×（3＋2－l）＝24 7×3十豆十2—24
8×3×（2－1）＝24 9×3—1—2—24
10×2＋l＋3＝24 11×2＋3－l＝24
12×（3＋1－2）＝24
通過計算可知，題中所給的9個數與1、2、3都能夠組成結果是24的算式。
答：可用的數有9個。
例3 從0、3、5、7中選出三個數字能排成_______個三位數，其中能被5整除的三位數有_________個。（2023年全國小學數學競賽預賽試題）
分析：根據題中所給的數字可知：
三位數的百位數只能有三種選擇：
十位數在餘下的三個數字中取乙個數字，也有3種選擇；
個位數在餘下的兩個數字中取乙個數字，有2種選擇。
解:把能排成的三位數窮舉如下，數下標有橫線的是能被5整除的。
305， 307， 350， 357， 370， 375；
503， 507， 530， 537， 570， 573；
703， 705， 730， 735， 750， 753
答：能排成18個三位數，其中能被5整除的有10個數。
例4 數一數圖3．30中有多少個大小不同的三角形？
分析：為了不重複不遺漏地數出圖中有多少個大小不同的三角形，可以把三角形分成a、b、c、d四類。
a類：是基本的小三角形，在圖中有這樣的三角形16個；
b類：是由四個小三角形組成的三角形，在圖中有這樣的三角形7個。6個尖朝上，乙個尖朝下。
c類：是由九個小三角形組成的三角形，在圖中有這樣的三角形3個，尖都朝上。
d類：是最大的三角形，圖中只有1個。
解：16＋7＋3＋1＝27（個）
答：圖中有大小不同的三角形共27個。
【設數法】 有些數學題涉及的概念易被混淆，解題時把握不定，還有些數學題是要求兩個（或幾個）數量間的等量關係或者倍數關係，但已知條件卻十分抽象，數量關係又很複雜，憑空思索，則不易捉摸。為了使數量關係變得簡單明白，可以給題中的某乙個未知量適當地設乙個具體數值，以利於探索解答問題的規律，正確求得問題的答案。這種方法就是設數法。
設數法是假設法的一種特例。
給哪乙個未知量設數，要便於快速解題。為了使計算簡便，數字盡可能小一點。在分數應用題中，所設的數以能被分母整除為好。若單位「 1」未知，就給單位「1」設具體數值。
例1 判斷下列各題。（對的打√，錯的打×）
（1）除1以外，所有自然數的倒數都小於1。（ ）
（2）正方體的稜長和它的體積成正比例。（ ）
以上各數的倒數都小於1，就能猜測此題的說法是正確的。
第（2）小題，給正方體的稜長設數，分析稜長的變化與其體積變化的規律。
由上表看出，正方體的稜長擴大2倍，體積擴大8倍；稜長擴大4倍，體積擴大64倍……這不符合正比例的含義，就能斷定此題的說法是錯誤的。
幾分之幾？
分析：先把女生人數看作單位「1」，假定女生人數為60人。男生人數則為
女生人數比男生人數少幾分之幾，則為
解：通過設數分析，理清了數量關係，找到了解題線索，便能順利地列出綜合算式。
。分析：這道題似乎條件不夠，不知從何下手。不妨根據路程、時間、速度的關係，給從a地去b地的速度設乙個具體數值試一試。
假設去時每小時走20千公尺，那麼a、b兩地的路程就是：
沿原路回家的速度則為：
回家時所需的時間則為：
解：把全路程看作單位「1」。
例4 已知甲校學生數是乙校學生數的40％，甲校女生數是甲校學生數的30％，乙校男生數是乙校學生數的42％，那麼，兩校女生總數佔兩校學生總數的百分比是____。
（2023年小學數學奧林匹克競賽試題初賽b卷）
分析：題中沒有給出具體數量，且數量關係錯綜複雜，不易理清頭緒。我們不妨把乙校人數看作單位「 1」，給乙校學生人數假定乙個具體數值，這樣就化難為易了。
若假定乙校學生為500人，則甲校學生為：
500×40％= 200（人）
由甲校女生數是甲校學生數的30％，則甲校女生數為：
200×30％=60（人）
由乙校男生數是乙校學生數的42％，則乙校女生數為：
500×（1-42％）=290（人）
兩校學生總數為：
500＋200=700（人）
兩校女生總數為：
60＋290=350（人）
則兩校女生總數佔兩校學生總數的百分比為：
350÷700=50％
解：[500×40％×30％＋500×（1-42％）]÷（500＋200）
=[60+290] ÷700
=350÷700
=50％
或[40％×30％+（1-42％）]÷（1＋40％）=50％
答：兩校女生總數是兩校學生總數的50％。
例7 如圖3.32，正方形面積為20平方厘公尺，求陰影部分的面積。
分析：一般的解法是先求正方形的邊長和圓的半徑，再求圓面積，然後用正方形的面積減去圓面積，即得陰影部分的面積。這樣算就要用到開平方的知識。
如果假設正方形的邊長為1，運用小學的知識便能解決這個問題。我們可以先求陰影部分的面積佔正方形面積的百分之幾，再計算陰影部分的面積。
設正方形的邊長為1，正方形的面積則為：
12=1
圓的半徑則為：
圓面積佔正方形面積的百分比為：
陰影部分的面積佔正方形面積的百分比為
1-78.5％=21.5％
由此可知陰影部分的面積為
20×21.5％=4.3（平方厘公尺）
解：設正方形的邊長為1，則陰影部分的面積為
=20×21.5％
=4.3（平方厘公尺）
答：陰影部分的面積為4.3平方厘公尺。
注意：如果把正方形的邊長設為其它數，計算的結果都是相同的。
【模擬法】模擬法是運用模擬推理解答問題的一種方法。模擬推理是根據兩個物件有一部分屬性相類似，從而推出這兩個物件的其它屬性也可能相類似的一種推理方法。模擬推理是富於創造性的一種思維方法，在小學數學中有著廣泛的應用。
例如，分數和比都含有相除的意義，我們根據除法的商不變性質，類推出分數的基本性質和比的基本性質。在解答數學題時，遇到問題a和問題b有許多類似的屬性，見到問題b時就會聯想到問題a，於是可以用解決問題a的辦法去解決問題b，或者用解決問題b的辦法去解決問題a。
例1 從時針指向3點整開始，經過多少分鐘，分針正好與時針重合？
分析：此題與追及問題相類似。如果把鐘面上1分鐘的距離作為1格，則1小時分針走60格，時針走5格。那麼分針走1格，
經過多少時間分針與時針重合，實質上就是要解決多少時間分針追上時針的問題。
例 2 a、b、c、d、e、f、g7個站，每兩站間都是相隔 600公尺。問從a站到g站的路程是多少公尺？
分析：不能簡單回答從a站到g站的路程是600×7=4200（公尺）。此題與在不是封閉的線路上要求兩端都要植樹的問題相類似，把7個站看成7棵樹，根據段數比棵樹少1的道理解答此題。
解：600×（7-1）=3600（公尺）
答：從a站到g站的路程是3600公尺。
例3 王老師為學校購買**器材。他帶去的錢可以買10臺手風琴或50把提琴，如果他買了6臺手風琴後，把剩下的錢全部買提琴，可以買多少把提琴？
分析：題中沒有給出王老師帶了多少錢，以及提琴和手風琴的單價等條件，怎麼能算出剩下的錢可以買多少把提琴呢？可是仔細一想，便可發現此題與工程問題相似。
如果把王老師一共帶的錢數看作「 1」，則每台手風琴
=20（把）
答：可以買20把提琴。
此題還可用解正比例應用題的方法來解答，把題意轉化為：「買10臺手風琴的錢與買50把提琴的錢相等，買4臺手風琴的錢可以買多少把提琴？」
解：設可以買x把提琴
10∶（10-6）=50∶x
答：可以買20把提琴。
【嘗試法】解答某些數學題，可以先根據題意對題目的答案進行猜測，然後把猜測的答案試一試，看這個答案是否符合題意。如果符合，則問題就得到解決。如果不符合，就得對答案進行調整，或者重新猜測，直到找出正確的答案為止。
這種解題方法就是嘗試法，或者叫做試驗法。
例1 把0、4、6、、7、8、9這六個數字，分別填入下面算式的方框內，每個方框只許填乙個數字，使每個等式都成立。
分析：比較兩個等式，先填第二個等式有利於快速解題。根據所給出的數字來分析，能使第二個等式成立的情況有兩種：
6×9=54 7×8=56
如果把 6×9=54填入第二個等式，那麼還剩下0、7、8三個數字，經過多次試驗，這三個數字不可能使第乙個等式成立。說明應重新調整。
把7×8=56填入第二個等式，那麼還剩下0、4、9三個數字，把這三個數字填入第乙個等式，能使第乙個等式成立，問題便得到解決。
例2 有一類小於200的自然數，每乙個數的各位數字之和為奇數，而且都是兩個兩位數的乘積（例如 144=12×12）。那麼這一類自然數中，第三大的數是_____。（2023年小學數學奧林匹克初賽試題）
根據條件，可以猜測這些兩位數的十位數只可能是1，而且兩位數中不能出現11，因為11×11=121，11×12=132，11×13=143……乘積的每位數字之和均為偶數，不合題意，應予排除。經過分析，猜測有了一定的範圍，於是進行嘗試，邊嘗試邊篩選，以求得正確的解答。
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