29、實踐與實際操作
【最短路線】
例1 乙隻螞蟻要從a處出發，經粘合在一塊木板上的正方體（如圖5.74）的表面爬到b處。
請你在圖上畫出最短的路線（看得見的畫實線，看不見的畫虛線），有幾條就畫幾條。
（2023年「新苗杯」小學數學競賽試題）
講析：可將正方體的幾個面，按正視位置的前面—上面展開，前面—右面展開，左面—後面展開，左邊—上面展開，其展開圖都是由兩個正方形面組成的長方形（如圖5.75所示）。
根據兩點之間直線段最短的原理，故最短路線為每個長方形對角線，它們共有四條，如圖5.76所示。
例2 請你在圖5.77（3）、（4）、（5）上畫出三種與圖（2）不一樣的設計圖，使它們摺起來後，都成為圖（1）所示的長方形盒子（粗線和各稜交於稜的中點）。
（第四屆《從小愛數學》邀請賽試題）講析：解題的關鍵，是要分清實線與虛線，然後思考它們是按什麼方式展開的。
不難想象，其答案如圖（3）、（4）、（5）所示。
【切分圖形】
例1 請將圖5.78分成面積相等，形狀相同，且每一塊中都含有「數學競賽」字樣的四塊圖形。
（「新苗杯」小學數學競賽試題）
講析：從條件看，所分成的每一塊圖中，必須有四個小正方形，且只有五種（如圖5.79）。
根據圖中漢字的具體位置，可發現圖5.79中圖（1）、圖（2）明顯不合，圖（3）、圖（4）也不能分成。於是只剩下圖（5）。
進一步搜尋，便可得到答案。答案如圖5.80所示。
例2 在一張正方形紙上畫兩個三角形，最多可以把這個正方形分成________塊，畫三個三角形，最多可以把這個正方形分成________塊；畫四個三角形，最多可以把這個正方形分成_________塊。
（2023年無錫市小學數學競賽試題）
講析：可先找出規律。
在正方形紙上，畫乙個三角形，依次畫三條邊時，增加了（1＋1＋1）塊，最多可把它分成4塊；畫二個三角形，依次畫三條邊時，增加了（3＋3＋3）塊，共13塊；畫三個三角形，依次畫三條邊時，增加了（5＋5＋5）塊，共28塊，如圖5.81所示。
由此推得，畫四個三角形，可增加（7＋7＋7）塊，最多，共49塊。
【拼合圖形】
例1 圖5.82是由圖5.83中的六塊圖形拼合而成的，其中圖①放在中間一列的某一格。請在圖5.82中找出這六個圖形，並畫出來。
（2023年全國小學數學奧林匹克總決賽試題）
講析：可先確定圖①的位置。因為圖①在中間的一列的某一格，當圖①放在a、b、c處時，經試驗，與其它五圖不能拼成圖5.82。
當圖①放在d處時，這六幅圖可以拼成圖5.82。拼法如圖5.84所示。
例2 7塊正方體積木堆在桌上。
從東、南、西、北四個方向看去，所看到的一面都只有5個正方形，而且看到的圖案是一樣的。（如圖5.85）。那麼從上面看下去，看到的圖形可能是什麼
樣的？請在圖5.86中正確的圖形下面打
「√」，錯誤的圖形下面打「×」。（《從小愛數學》邀請賽第五屆試題）
講析：上面的七幅圖都是俯檢視。在看每幅圖是否正確時，關鍵是想象出將另兩塊積木，放在這五塊中哪兩塊的上面，然後分別從東西南北四個方向去看，得出的圖形是否與圖5.85相吻合。
經試驗，得出的答案如圖5.86所示，即按從左往右，從上至下的位置，依次為
例1 某車隊有4輛汽車，擔負a、b、c、d、e、f六個分廠的運輸任) n/ ?+ o# t- ~5 u5 ^+ s5 w
（圖5.97所標出的數是各分廠所需裝卸工人數）。若各分廠自派裝卸工，則共需33人。
若讓一部分人跟車裝卸，在需要裝卸工人數較多的分廠再配備乙個或幾個裝卸工，那麼如何安排才能既保證各分廠所需工人數，又使裝卸工人數最少？
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2008-9-5 11:25
（2023年《小學生報》小學數學競賽試題）
9 f5 p7 a" w9 r3 t; b4 g; c 講析：可從需要工人數最少的e分廠著手。假定每輛車上配備3人，則需在d、c、b、a、f五處分別派1、5、2、3、4人，共需27人。
* z3 d, m7 q6 s. h/ [
若每車配備4人，則需在c、b、a、f四處分別派4、1、2、3人，共需26人。# u; t% t' s4 n) d, y1 `* d
若每車配備5人，則需在c、a、f三處分別派3、1、2人，共需26人。
1 d2 \; q8 n7 j: \8 e' d 所以，上面的第
二、三種方案均可，人數為26人。& wd4 p4 u. a) }4 k" e) w" e3 c
例2 少先隊員在植樹中，每人植樹2棵。如果乙個人挖乙個樹坑需要25分鐘，運樹苗一趟（最多可運4棵）需要20分鐘，提一桶水（可澆4棵樹）需要10分鐘，栽好一棵樹需要10分鐘，現在以兩個人為乙個小組進行合作，那麼，完成植樹任務所需的最短時間是______分鐘。
3 j2 f$ j+ e( ?9 y! m （福州市鼓樓區小學數學競賽試題）
& y& p# s' p. i! r7 i# z 講析：
可將甲、乙兩人同時開始勞動的整個過程安排，用圖5.98來表示出來。5 g1 d; d) y1 x- ?
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2008-9-5 11:25
由圖可知，完成任務所需的最短時間，是85分鐘。0 h2 q* h0 `d4 a, g1 i$ a
例3 若干箱同樣的貨物總重19.5噸，只知每箱重量不超過353千克。今有載重量為1.
5噸的汽車，至少需要______輛，才能保證把這些貨物一次全部運走。（箱子不能拆開）/ x- |$ m+ ~! p% p
（北京市第七屆「迎春杯」小學數學競賽試題）
$ g. ^+ t0 _) j- o 講析：關鍵是要理解「至少幾輛車，才能保證一次運走」的含義。也就是說，在最大浪費車位的情況下，最少要幾輛車。
- p7 n8 z: o1 w+ n ∵這堆貨物箱數至少有：2 v% \- b' ∴一次全部運走所有貨物，至少需要汽車56÷4=14（輛）。8 u' ~3 l+ bqz4 o
例4 如圖5.99，一條公路（粗線）兩側有7個工廠（01、02、……、07），通過小路（細線）分別與公路相連於a、b、c、d、e、f點。現在要設定乙個車站，使各工廠（沿小路和公路走）的距離總和越小越好。
這個車站應設在一______點。
6 m4 m1 p) c* `m. i, d9 t; @4 d （2023年福州市小學數學競賽試題）7 e6 xu* ~. c" e* a/ ]6 x
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2008-9-5 11:25
講析：從各工廠到車站，總是先走小路，小路的總長不變，所以問題可轉化為：「在一條公路上的a、b、c、d、e、f處各有乙個工廠，d處有兩個工廠。
要在公路上設乙個站，使各廠到車站的距離總和最小（如圖5.100）。; d& q6 |9 y; d# ?
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2008-9-5 11:25
顯然，車站應設在盡量靠七個廠的中間部位。
- s9 ?' |3 ~) q$ s1 ` 如果車站設在d處，則各廠到d總長是：6 k5 j7 x- p4 w; e
（da＋df）＋（db＋de）＋dc=af＋be＋dc；
0 r: y* t4 a- f: ?) l 如果車站設在c處，則各廠到c總長是
1 m9 a7 m2 g7 v# i7 z% j0 p% o （ca＋cf）＋（bc＋ce）＋2·dc＝af＋be＋2·dc。9 k\6 h1 z4 k! f2 gk
比較上面兩個式子得：當車站設在d處時，七廠到車站的距離總和最小。8 s. e2 z0 ~2 `+ p0 o. p; _# @
【費用最少問題】
% n7 q/ }8 h+ p9 z 例1 在一條公路上每隔100千公尺有乙個倉庫（如圖5.101），共有五個倉庫。一號倉庫存有10噸貨物，二號倉庫存有20噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物，其餘兩個倉庫是空的。
現在想把所有的貨物集中存放在乙個倉庫裡，如果每噸貨物運輸1千公尺需要0.5元的運費，那麼最少要花多少運費才行？$ i/ }5 s% x8 h:
a. ^% e- p8 b
（全國第一屆「華盃賽」複賽試題）
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2008-9-5 11:25
講析：這類問題思考時，要盡量使運這些貨物的噸千公尺數的和最小。處理的方法是：「小往大處靠」。/ k* m9 ?- g2 r6 e
因為第五個倉庫有40噸，比第
一、二倉庫貨物的總和還多。所以，盡量把第五個倉庫的貨不動或者動得最近。
. ?" f: n) r; z9 j5 v. p 當存放站設在第四倉庫時，一、二、五倉庫貨物運輸的噸千公尺數為：
8 k, g4 ~2 o5 d& |9 b0 i+ o- y* l 10×300＋20×200＋40×100=11000；
}% q& h$ z! m. b2 z7 ~. v) l! z 當存放站設在第五倉庫時，一、二倉庫貨物運輸的噸千公尺數為：
% l3 q; [) z' j% v: t4 u 10×400+20×300=10000。
$ k: b6 }2 b" g0 z3 t2 v$ p* ? 所以，存放點應設在第五號倉庫，運費最少。運費是0.5×10000=5000（元）。
9 m8 b) w9 z! x: y4 y* j6 } 例2 有十個村，坐落在從縣城出發的一條公路上（如圖（5.
102，單位：千公尺），要安裝水管，從縣城送自來水到各村，可用粗細兩種水管，粗管足夠**所有各村用水，細管只能供乙個村用水，粗管每千公尺要用8千元，細管每千公尺要用2千元。把粗管細管適當搭配，互相連線，可降低工程總費用。
按最節省的辦法，費用應是多少？7 ?& z5 d/ i4 i8 s6 ]
（全國第一屆「華盃賽」決賽第二試試題）$ jy; m+ q' i, ~* y5 b1 {
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講析：因為粗管每千公尺的費用是細管的4倍，所以應該在需要安裝四根或四根以上水管的地段，都應安裝粗管。因此，只有到最後三個村安裝細管，費用才最省。
: e( o: y3 l5 i8 q: ] 不難求出，最少費用為414000元。
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16 特殊解題方法 窮舉法 解答某些數學題，可以把問題所涉及到的數量或結論的有限種情況，不重複不遺漏地全部列舉出來，以達到解決問題的目的。這種解題方法就是窮舉法。例1 從甲地到乙地有a b c三條路線，從乙地到丙地有d e f g四條路線。問從甲地經過乙地到達丙地共有多少條路線？如圖3 28 分析 ...