9、約數與倍數
【約數問題】
例1 用1155個同樣大小的正方形拼成乙個長方形，有______種不同的拼法。（上海市第五屆小學數學競賽試題）
講析：不論拼成怎樣的長方形，它們的面積都是1155。
而長方形的面積等於長乘以寬。所以，只要將1155分成兩個整數的積，看看有多少種方法。一般來說，約數都是成對地出現。
1155的約數共有16個。
16÷2=8（對）。
所以，有8種不同的拼法。
例2 說明：360這個數的約數有多少個？這些約數之和是多少？
（全國第三屆「華盃賽」決賽第一試試題）
講析：將360分解質因數，得
360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
所以，360的約數個數是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（個）
這24個約數的和是：
例3 乙個數是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積。這個數當然有許多約數是兩位數，這些兩位的約數中，最大的是幾？
（全國第一屆「華盃賽」決賽第一試試題）
講析：這個數是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
把兩位數從99、98、……開始，逐一進行分解：
99=3×3×11； 98=2×7×7；
97是質數； 96=2×2×2×2×2×3。
發現，96是上面數的約數。
所以，兩位數的約數中，最大的是96。
例4 有8個不同約數的自然數中，最小的乙個是______。
（北京市第一屆「迎春杯」小學數學競賽試題）
講析：乙個自然數n，當分解質因數為：
因為8=1×8=2×4=2×2×2，
所以，所求自然數分解質因數，可能為：
27，或23×3，或2×3×5，……
不難得出，最小的乙個是24。
【倍數問題】
例1 6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果分別用1分、2分、5分硬幣疊成的三個圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那麼這三種硬幣總共有______枚。
（上海市第五屆小學數學競賽試題）
講析：因為6枚1分的硬幣與5枚2分的一樣高，所以36枚1分的硬幣與30枚2分的一樣高。
6枚2分的硬幣與5枚5分的一樣高，所以30枚2分的硬幣與25枚5分的一樣高。
因此，36枚1分的硬幣高度等於30枚2分的高度，也等於25枚5分的高度。它們共有：
1×36+2×30+5×25=221（分）。
4元4角2分=442（分），442÷221=2。
所以，1分的硬幣共36×2=72（枚），2分的硬幣共30×2=60（枚），5分的硬幣共25×2=50（枚），即總共有182枚。
例2 從1、2、……、11、12中至多能選出______個數，使得在選出的數中，每乙個數都不是另乙個數的2倍。
（2023年全國小學數學奧林匹克初賽試題）
講析：1、3、5、7、9、11是奇數，不可能是任何整數的2倍。剩下的數有2、4、6、8、10、12六個數，且6是3的2倍，10是5的2倍。
如取2，則4、8、12就都不能取；如取4，則2、8不能取，故只可取12；如取8，則2、4不能取，故只可取8。所以至多能選取8個數。
例3 小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1、2、3、……13。如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那麼，其中能被6整除的乘積共有______個。
（北京市第九屆「迎春杯」小學數學競賽試題）
講析：因為6=2×3，所以能被6整除的因數中，至少含有乙個2和乙個3。
當一邊取6，另一邊取1、2、……、13時均成立，有13個積；
當一邊取7、8、9、10、11、12、13，另一邊取12時，有7個積；
當一邊取10，另一邊取9時，有1個積。
所以，不相等的乘積中，被6整除的共有：
13+7+1=21（個）。
例4 設a與b是兩個不相等的自然數。如果它們的最小公倍數是72，那麼a與b之和可以有______種不同的值。
（北京市第九屆「迎春杯」小學數學競賽試題）
講析：因為72=23×32，它共有約數
（3+1）×（2+1）=12（個）
這12個約數，每個約數與72的最小公倍數都是72，a、b之和有12種不同的值；
當a=22×32=36時，b可取23=8或23×3=24，a、b之和有2種不同的值；
當a=23×3=24時，b可取32=9或2×32=18，a、b之和有2種不同的值。
當a=2×32=18時；b可取23=8，a、b之和有1種不同的值。
所以，滿足條件的a與b之和共有17種不同的值。
小學奧數第16講特殊解題方法 含解題思路
16 特殊解題方法 窮舉法 解答某些數學題，可以把問題所涉及到的數量或結論的有限種情況，不重複不遺漏地全部列舉出來，以達到解決問題的目的。這種解題方法就是窮舉法。例1 從甲地到乙地有a b c三條路線，從乙地到丙地有d e f g四條路線。問從甲地經過乙地到達丙地共有多少條路線？如圖3 28 分析 ...
奧數公約數與公倍數教案
知識要點 1 幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數。其中最大的乙個叫做這幾個數的最大公約數。2 幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數。其中最小的乙個叫做這幾個數的最小公倍數。3 求最大公約數和最小公倍數的方法 1 列舉法 2 分解質因數法 3 短除法。4 最大公約數和最小公倍數的關係 兩個數的最...
小學奧數第29講實踐與實際操作 含解題思路
29 實踐與實際操作 最短路線 例1 乙隻螞蟻要從a處出發，經粘合在一塊木板上的正方體 如圖5.74 的表面爬到b處。請你在圖上畫出最短的路線 看得見的畫實線，看不見的畫虛線 有幾條就畫幾條。1990年 新苗杯 小學數學競賽試題 講析 可將正方體的幾個面，按正視位置的前面 上面展開，前面 右面展開，...