題型**
直線與圓錐曲線的位置關係，是高考考查的重中之重．主要涉及弦長、弦中點、對稱、參量的取值範圍、求曲線方程等問題．解題中要充分重視韋達定理和判別式的應用．
解題的主要規律可以概括為「聯立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找範圍，曲線定義不能忘」．
範例選講
例1．已知雙曲線g的中心在原點，它的漸近線與圓相切．過點作斜率為的直線，使得和交於兩點，和軸交於點，並且點**段上，又滿足．
（ⅰ）求雙曲線的漸近線的方程；
（ⅱ）求雙曲線的方程；
（ⅲ）橢圓的中心在原點，它的短軸是的實軸．如果中垂直於的平行弦的中點的軌跡恰好是的漸近線截在內的部分，求橢圓的方程．
講解：（ⅰ）設雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：．
所以，．
雙曲線的漸近線的方程為：．
（ⅱ）由（ⅰ）可設雙曲線的方程為：．
把直線的方程代入雙曲線方程，整理得．
則 （＊）
∵，共線且**段上，
∴，即：，整理得：
將（＊）代入上式可解得：．
所以，雙曲線的方程為．
（ⅲ）由題可設橢圓的方程為：．下面我們來求出中垂直於的平行弦中點的軌跡．
設弦的兩個端點分別為，的中點為，則
．兩式作差得：
由於，所以，，
所以，垂直於的平行弦中點的軌跡為直線截在橢圓s內的部分．
又由題，這個軌跡恰好是的漸近線截在內的部分，所以，．所以，，橢圓s的方程為：．
點評：解決直線與圓錐曲線的問題時，把直線投影到座標軸上（也即化線段的關係為橫座標（或縱座標）之間的關係）是常用的簡化問題的手段；有關弦中點的問題，常常用到「設而不求」的方法；判別式和韋達定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具）．
例2．設拋物線過定點，且以直線為準線．
（ⅰ）求拋物線頂點的軌跡的方程；
（ⅱ）若直線與軌跡交於不同的兩點，且線段恰被直線平分，設弦mn的垂直平分線的方程為，試求的取值範圍．
講解：（ⅰ）設拋物線的頂點為，則其焦點為．由拋物線的定義可知：．
所以，．
所以，拋物線頂點的軌跡的方程為： ．
（ⅱ）因為是弦mn的垂直平分線與y軸交點的縱座標，由mn所唯一確定．所以，要求的取值範圍，還應該從直線與軌跡相交入手．
顯然，直線與座標軸不可能平行，所以，設直線的方程為，代入橢圓方程得：
由於與軌跡交於不同的兩點，所以，，即
．（＊）
又線段恰被直線平分，所以，．
所以，．
代入（＊）可解得：．
下面，只需找到與的關係，即可求出的取值範圍．由於為弦mn的垂直平分線，故可考慮弦mn的中點．
在中，令，可解得：．
將點代入，可得：．
所以，．
從以上解題過程來看，求的取值範圍，主要有兩個關鍵步驟：一是尋求與其它引數之間的關係，二是構造乙個有關參量的不等式．從這兩點出發，我們可以得到下面的另一種解法：
解法二．設弦mn的中點為，則由點為橢圓上的點，可知：
．兩式相減得：
又由於，代入上式得：．
又點在弦mn的垂直平分線上，所以，．
所以，．
由點**段bb』上（b』、b為直線與橢圓的交點，如圖），所以，．
也即：．
所以，點評：解決直線和圓錐曲線的位置關係問題時，對於消元後的一元二次方程，必須討論二次項係數和判別式，有時借助圖形的幾何性質更為方便．
涉及弦中點問題，利用韋達定理或運用平方差法時（設而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法．
從構造不等式的角度來說，「將直線的方程與橢圓方程聯立所得判別式大於0」與「弦mn的中點在橢圓內」是等價的．
高考真題
1．（2023年全國高考）雙曲線的中心在座標原點o，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線於p、q兩點．若，且，求雙曲線的方程．
2．（2023年全國高考）已知直線l過座標原點，拋物線c頂點在原點，焦點在x軸正半軸上.若點a(-1,0)和點b(0,8)關於l的對稱點都在c上，求直線l和拋物線c的方程．
3．（2023年全國高考）已知ll,l2是過點p()的兩條互相垂直的直線,且ll,l2與雙曲線y2x2=1各有兩個交點,分別為a1,b1和a2,b2.
() 求l1的斜率k1的取值範圍;
()若|a1b1||a2b2|,求ll,l2的方程.
[答案與提示：1.略； 2．； 3
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