第13講垂直的判定與性質
1. 線面垂直的定義：如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，則直線與平面互相垂直，記作.－平面的垂線，－直線的垂面，它們的唯一公共點叫做垂足.（線線垂直線面垂直）
2. 判定定理：一條直線與乙個平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直. 符號語言表示為：若⊥，⊥，∩＝b， ， ，則⊥
3. 面面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直. 記作.
4. 判定定理：乙個平面過另乙個平面的垂線，則這兩個平面垂直. （線面垂直面面垂直）
5. 線面垂直性質定理：垂直於同乙個平面的兩條直線平行. （線面垂直線線平行）
6. 面面垂直性質定理：兩個平面垂直，則乙個平面內垂直於交線的直線與另乙個平面垂直. 用符號語言表示為：若，，，，則.（面面垂直線面垂直）
【例1】四面體中，分別為的中點，且，，求證：平面.
【例2】已知稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，e是a1b1的中點，求直線ae與平面abc1d1所成的角的正弦值.
【例3】三稜錐中，，平面abc，垂足為o，求證：o為底面△abc的垂心.
【例4】已知，斜邊bc//平面， ab，ac分別與平面成30°和45°的角，已知bc=6，求bc到平面的距離.
【例5】如圖，已知平行六面體abcd—a1b1c1d1的底面是菱形且∠c1cb=∠c1cd=∠bcd=60°,
（1）證明：c1c⊥bd； （2）當的值為多少時，可使a1c⊥面c1bd？
【例1】已知正方形abcd的邊長為1，分別取邊bc、cd的中點e、f，鏈結ae、ef、af，以ae、ef、fa為摺痕，摺疊使點b、c、d重合於一點p.
（1）求證：ap⊥ef；（2）求證：平面ape⊥平面apf.
【例2】如圖, 在空間四邊形abcd中， 分別是的中點，求證：平面平面.
【例3】如圖，在正方體中，e是的中點，求證：．
【例4】正三稜柱abc—a1b1c1中，aa1=2ab，d、e分別是側稜bb1、cc1上的點，且ec=bc=2bd，過a、d、e作一截面，求：（1）截面與底面所成的角；（2）截面將三稜柱分成兩部分的體積之比.
【例5】如圖，在四稜錐p—abcd中，底面abcd是矩形，側稜pa垂直於底面，e、f分別是ab、pc的中點.（1）求證：cd⊥pd； （2）求證：ef∥平面pad；
（3）當平面pcd與平面abcd成多大角時，直線ef⊥平面pcd？
【例1】把直角三角板abc的直角邊bc放置於桌面，另一條直角邊ac與桌面所在的平面垂直，a是內一條直線，若斜邊ab與a垂直，則bc是否與a垂直？
【例2】如圖，ab是圓o的直徑，c是圓周上一點，pa⊥平面abc.
（1）求證：平面pac⊥平面pbc；
（2）若d也是圓周上一點，且與c分居直徑ab的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.
【例3】三稜錐中，,平面abc，垂足為o，求證：o為底面△abc的外心.
【例4】三稜錐中，三個側面與底面所成的二面角相等，平面abc，垂足為o，求證：o為底面△abc的內心.
【例5】在斜三稜柱a1b1c1—abc中，底面是等腰三角形，ab=ac，側面bb1c1c⊥底面abc.
（1）若d是bc的中點，求證：ad⊥cc1；
（2）過側面bb1c1c的對角線bc1的平面交側稜於m，若am=ma1，求證：截面mbc1⊥側面bb1c1c；
（3）如果截面mbc1⊥平面bb1c1c，那麼am=ma1嗎？請你敘述判斷理由.
【例6】如圖，在底面為平行四邊形的四稜錐中，，平面，且，點是的中點.
（1）求證：；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的大小.
【例7】如圖，在多面體abcd—a1b1c1d1中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，側稜延長後相交於e，f兩點，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h.
（1）求側面abb1a1與底面abcd所成二面角的正切值；
（2）證明：ef∥面abcd；
（3）在估測該多面體的體積時，經常運用近似公式v估=s中截面·h來計算.已知它的體積公式是v=（s上底面+4s中截面+s下底面），試判斷v估與v的大小關係，並加以證明.
（注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）
第七章第5講直線 平面垂直的判定與性質
1 直線與平面垂直的判定定理與性質定理 2.平面與平面垂直的判定定理與性質定理 3.空間角 1 直線與平面所成的角 定義 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，如圖，pao就是斜線ap與平面 所成的角 線面角 的範圍 2 二面角 定義 從一條直線出發的兩個半平面...
第十八講直線 平面垂直的判定與性質
1 對於直線m，n和平面 的乙個充分條件是 a m n，m n b m n，m，n c m n，n m d m n，n m 2 如圖k13 5 1，abcd a1b1c1d1為正方體，下面結論錯誤的是 圖k13 5 1 a bd 平面cb1d1 b ac1 bd c ac1 平面cb1d1 d 異面...
高考數學綜合能力題30講第02講函式的基本性質
函式的基本性質 100080 北京中國人民大學附中梁麗平 題型 函式的性質主要包括 函式的單調性 奇偶性和週期性。函式是中學數學的重要內容，函式的性質也是高考考查的重中之重。高考對本部分內容的要求較高，不僅要求熟練掌握這些性質，還要求能夠運用定義去證明和判斷，以及能夠靈活運用這些性質解題。範例選講 ...