直線與平面垂直的判定
直線與平面垂直的判定與證明方法：
①用線面垂直定義：若一直線垂直於平面內任一直線，這條直線垂直於該平面.
②用線面垂直判定定理：若一直線與平面內兩相交直線都垂直，這條直線與平面垂直.
③用線面垂直性質：兩平行線之一垂直平面，則另一條也必垂直這個平面.
④用麵麵垂直性質定理：兩平面垂直，在乙個平面內垂直於交線的直線必垂直於另一平面.
⑤用麵麵平行性質：一直線垂直於兩平行平面之一，則必垂直於另一平面.
⑥用麵麵垂直性質：兩相交平面同時垂直於第三個平面，那麼兩平面交線垂直於第三個平面.
線面垂直的判定
1. 如圖，直角所在平面外一點，且，點為斜邊的中點．
（1） 求證：平面；
（2） 若，求證：面．
答案：證明：（１），
為的中點，．
鏈結．在中，則．
，．又，面．
（２），為的中點，
．又由（１）知面，．
於是垂直於平面內的兩條相交直線．
面．2. 如圖，已知p是△abc所在平面外一點，pa、pb、pc兩兩垂直，h是△abc的垂心，求證：ph⊥平面abc.
【**】 根據判定定理，要證線面垂直，需證直線和平面內的兩條相交直線垂直，根據h是△abc的垂心，可知bc⊥ah，又pa、pb、pc兩兩垂直，得pa⊥面pbc，於是pa⊥bc，由此可知bc垂直於平面pah內的相交直線pa和ah，結論得證.
證明：∵h是△abc的垂心，∴ah⊥bc
∵pa⊥pb，pa⊥pc，∴pa⊥平面pbc.
又∵bc平面pbc，pa⊥bc
由①②知，bc⊥ph，
同理，ab⊥ph，∴ph⊥平面abc.
二面角的求解
3. 已知四邊形pabc為空間四邊形，∠pca=90°，△abc是邊長為的正三角形，pc=2，d、e分別是pa、ac的中點，bd=.試判斷直線ac與平面bde的位置關係，並且求出二面角p-ac-b的大小.
解：∵d、e分別是pa、ac的中點，
∴de∥pc且de=pc=1.
∵∠pca=90°,∴ac⊥de.
∵△abc是邊長為的正三角形，並且e是ac的中點，
∴ac⊥be，並且be=3.
∵de∩be=e，∴直線ac與平面deb垂直.
∴∠deb為二面角p-ac-b的平面角.
在△bde中，由de=1，be=3，bd=得de2+be2=bd2，∴∠deb=90°.
綜上所述，直線ac與平面bde垂直，二面角p-ac-b的大小為90°.
【規律總結】 與二面角的稜垂直的平面和二面角的兩個面相交的兩條射線構成的角就是這個二面角的平面角.利用作與稜垂直的平面得到二面角的方法稱為「垂面法」.
4. 已知△abc是正三角形，pa⊥平面abc，且pa=ab=a，求二面角a-pc-b的正切值.
【**】 要求二面角的正切值，首先要在圖形中構造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，過稜上一點，分別在兩個麵內作或證稜的垂線，即可產生二面角的平面角，充分利用三角函式定義求得正切值.
解：取ac的中點m，鏈結bm，作mn⊥pc於n，鏈結bn.
∵pa⊥平面abc，∴平面pac⊥平面abc.易證bm⊥ac，ac=平面pac∩平面abc.
∴bm⊥平面pac(面面垂直的性質).
∵mn⊥pc，∴nb⊥pc.∴∠mnb是二面角a-pc-b的平面角.
易知mn=，bm=.∴tan∠mnb=.∴二面角的正切值為
【規律總結】 度量二面角的大小是通過其平面角進行，所以在圖形中構造出二面角的平面角，就能將空間問題轉化為平面問題，利用直角三角形中銳角三角函式定義，有些問題也可用斜三角形中的直角三角形加以處理.
5. 如圖，已知三稜錐的三個側面與底面全等，且，求以為稜，以麵與面為面的二面角的大小。
思維導引：圖中有現成的二面角的平面角嗎？交線是，
怎麼作出二面角的平面角來？
底面是什麼三角形？哪條線垂直交線？
③側面是什麼三角形？它和底面全等，對應邊的大小
關係是怎樣的？側面中哪條線垂直交線？
找到二面角的平面角之後需要求的長度，側面也和
底面全等，對應邊的大小關係是怎樣的？嗎？
規範解答：設為的中點，鏈結
因為，所以，同理，
所以即為二面角的平面角，
因為，所以，又，
側面與底面全等，所以，所以，所以為等邊三角形，所以，即二面角為
6. 正三稜柱中，，分別是側稜上的點，且，過作一截面，求截面與底面所成的角
規範解答：延長ed交cb延長線於f，
，∴，.
∵， ∴ 為截面與底面所成二面角的平面角.
在rt△aec中，ec=ac，故得∠eac=45°.
7. 如圖，四稜錐o—abcd中，底面abcd是邊長為2的正方形，其他四個側面都是側稜長為的等腰三角形，試畫出二面角o-ab-c的平面角，並求它的度數.
解：如圖，∵四稜錐的側面是全等的等腰三角形，底面為正方形，∴頂點o在底面上的射影是正方形中心o′，取ab中點e，鏈結oe，∵oa=ob，
∴oe⊥ab.同理,o′e⊥ab.
∴∠oeo′是二面角oabc的平面角.
鏈結oo′,在rt△oo′e中，oe′=1，oe=2，
∴∠oeo′=60°，故二面角的平面角度數為60°.
2.兩個平面互相垂直的判定
常用的判定方法有：
(1)定義法，即說明這兩個平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理，即乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直；
(3)兩個平行平面中的乙個垂直於第三個平面，則另乙個也垂直於第三個平面.
面面垂直的判定
8. 如圖，過s引三條長度相等但不共面的線段sa、sb、sc，且∠asb=∠asc=60°，∠bsc=90°.求證：平面abc⊥平面bsc.
【**】 本題可以用兩種方法來證明，一是作平面的垂線而後證明它在另乙個平面內(證法一)；二是在乙個平面內找一條線段，證明它與另乙個平面垂直(證法二).
證法一：作ad⊥平面bsc，d為垂足.
∵∠asb=∠asc=60°，sa=sb=sc，則as=ab=ac，
∴d為△bsc的外心.又∠bsc=90°，
∴d為bc的中點，即ad在平面abc內.
∴平面abc⊥平面bsc.
證法二：取bc的中點d，鏈結ad、sd，易證ad⊥bc.又△abs是正三角形，△bsc為等腰直角三角形，∴bd=sd.∴ad2+sd2=ad2+bd2=ab2=as2.
由勾股定理的逆定理，知ad⊥sd，∴ad⊥平面bsc.
又ad平面abc，∴平面abc⊥平面bsc.
【規律總結】 本題是證明面面垂直的典型例題，關鍵是將證明「面面垂直」的問題轉化為證明「線面垂直」的問題.
9. 如圖，△abc為正三角形，ce⊥平面abc，bd∥ce，且ce=ac=2bd，m是ae的中點，求證：①de=da;②平面bdm⊥平面eca；③平面dea⊥平面eca.
證明：①取ec的中點f，鏈結df.
∵ce⊥平面abc，
∴ce⊥bc.易知df∥bc，∴ce⊥df.
∵bd∥ce，∴bd⊥平面abc.
在rt△efd和rt△dba中，
∵ef=ce=db,df=bc=ab,
∴rt△efd≌rt△dba,故de=ad.
②取ac的中點n，鏈結mn、bn，則mncf.
∵bdcf，∴mnbd，
∵ec⊥平面abc，∴ec⊥bn.
又∵ac⊥bn,∴bn⊥平面eca.
又∵bn平面mnbd，∴平面bdm⊥平面eca.
③∵dm∥bn，bn⊥平面eca，∴dm⊥平面eca.
又∵dm平面dea，∴平面dea⊥平面eca.
點評：本題涉及線面垂直、面面垂直的性質和判定，這裡證明的關鍵是bn⊥平面eca，在這裡應充分體會線線垂直、線面垂直與麵麵垂直的關係.
10. 如圖，已知ab是圓o的直徑，pa垂直於⊙o所在的平面，c是圓周上不同於a、b的任一點，求證：（1）bc⊥pc；（2）平面pac⊥平面pbc.
證明：(1)∵ab是圓o的直徑，∴ac⊥bc.
又∵pa垂直於⊙o所在的平面，
∴pa⊥bc，∴bc⊥平面pac.
∴bc⊥pc.(2)由(1)知bc⊥平面pac,
又bc在平面pbc內，∴平面pac⊥平面pbc.
11. 已知正方形abcd的邊長為1，分別取邊bc、cd的中點e、f，鏈結ae、ef、af，以ae、ef、fa為摺痕，摺疊使點b、c、d重合於一點p.
（1）求證：ap⊥ef；（2）求證：平面ape⊥平面apf.
思維導引：這是由平面圖形摺疊成立體圖形的問題，摺疊前後哪些關係不變？哪些關係會改變？
點是怎麼來的？共點的三條稜之間是什麼關係？兩兩垂直嗎？和面垂直嗎？
如何得到面面垂直？平面是過直線的面嗎？
規範解答：（1）如右圖，∵∠ape=∠apf=90°，pe∩pf=p，
∴ pa⊥平面pef. ∵ef平面pef，∴pa⊥ef.
（2）∵∠ape=∠epf=90°，ap∩pf=p，∴pe⊥平面apf.
又pe平面pae，∴平面ape⊥平面apf.
12. 如圖, 在空間四邊形abcd中， 分別是的中點，求證：平面平面.
規範解答：為ac中點，所以.
同理可證∴面bgd.
又易知ef//ac，則面bgd.
又因為面bef，所以平面平面.
直線與平面垂直的判定
2.3.1 直線與平面垂直的判定 一 教學目標 1 知識與技能 1 使學生掌握直線與平面垂直的定義及判定定理 2 使學生掌握判定直線和平面垂直的方法 3 培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納 概括結論。2 過程與方法 1 通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定...
直線與平面垂直的判定
引入 知識點 一 相關概念 直線與平面垂直的定義 一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，則稱這條直線和這個平面垂直.直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點叫做垂足.從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離。記作 畫法 二 判定定理 問題 1 直線與平面內的...
直線與平面垂直的判定教案
南昌二中高鵬 一 教學內容 課題 直線與平面垂直的判定 第一課時 教材 普通高中課程標準實驗教科書北師大版 必修2 第一章第六節 二 教學目標 知識與技能 掌握直線與平面，並能進行簡單應用。過程與方法 在合作 中，逐步構建知識結構 通過直觀感知，操作確認，提高學生的空間想象能力 幾何直觀能力，欣賞事...