知識梳理
1．直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義：
直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．
(2)直線與平面垂直的判定定理及性質定理：
2．平面與平面垂直的判定定理與性質定理
易錯點：
1．證明線面垂直時，易忽視麵內兩條線為相交線這一條件．
2．面面垂直的判定定理中，直線在麵內且垂直於另一平面易忽視．
3．面面垂直的性質定理在使用時易忘面內一線垂直於交線而盲目套用造成失誤．
[試一試]
1．已知平面α，β，直線l，若α⊥β，α∩β＝l，則( )
a．垂直於平面β的平面一定平行於平面α
b．垂直於直線l的直線一定垂直於平面α
c．垂直於平面β的平面一定平行於直線l
d．垂直於直線l的平面一定與平面α、β都垂直
解析：選d a中平面可與α平行或相交，不正確，b中直線可與α垂直或斜交，不正確，c中平面可與直線l平行或相交，不正確．
2．若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是( )
a．若α∥β，m⊥α，則m⊥β b．若m∥n，m⊥α，則n⊥α
c．若m∥α，m⊥β，則d．若α∩β＝m，且n與α，β所成的角相等，則m⊥n
解析：選d 容易判定選項a、b、c都正確，對於選項d，當直線m與n平行時，直線n與兩平面α，β所成的角也相等，均為0°，故d不正確．
3．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直線l，則( )
a．垂直於平面β的平面一定平行於平面α b．垂直於直線l的直線一定垂直於平面α
c．垂直於平面β的平面一定平行於直線l d．垂直於直線l的平面一定與平面α，β都垂直
解析：選d 對於a，α與β可以相交，b中l與α可以垂直、斜交、平行或在平面α內，對於c，垂直於β的平面與l平行或相交．故選d.
方法歸納
1．轉化與化歸思想——垂直關係
2．判定線面垂直的常用方法
(1)利用線面垂直的判定定理．
(2)利用「兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直」．
(3)利用「一條直線垂直於兩平行平面中的乙個，則與另乙個也垂直」．
(4)利用面面垂直的性質．
3．判定線線垂直的方法：
(1)平面幾何中證明線線垂直的方法；
(2)線面垂直的性質：a⊥α，bαa⊥b；
(3)線面垂直的性質：a⊥α，b∥αa⊥b.
4．判斷面面垂直的方法
(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：aα，a⊥βα⊥β.
[練一練]
1.如圖，o為正方體abcd a1b1c1d1的底面abcd的中心，則下列直線中與b1o垂直的是( )
a．a1db．aa1c．a1d1d．a1c1
解析：選d 由題易知，a1c1⊥平面bb1d1d，又ob1平面dd1b1b，∴a1c1⊥b1o.
2．已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.當滿足條件________時，有m⊥β.(填所選條件的序號)
解析：若m⊥α，α∥β，則m⊥β.故填②④. 答案：②④
考點精講
考點一垂直關係的基本問題
1．設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，有以下四個命題
① ② ③ ④
其中正確的命題是( )
a．①④ b．②③
c．①③ d．②④
解析：選c 對於②，直線m與平面β可能平行或相交；對於④，直線m可能也在平面α內．而①③都是正確的命題，故選c.
2．如圖，pa⊥⊙o所在平面，ab是⊙o的直徑，c是⊙o上一點，ae⊥pc，af⊥pb，給出下列結論：①ae⊥bc；②ef⊥pb；③af⊥bc；④ae⊥平面pbc，其中真命題的序號是________．
解析：①ae平面pac，bc⊥ac，bc⊥paae⊥bc，故①正確，②ae⊥pb，af⊥pbef⊥pb，故②正確，③若af⊥bcaf⊥平面pbc，則af∥ae與已知矛盾，故③錯誤，由①可知④正確．
答案：①②④
[解題通法]
解決此類問題常用的方法
(1)依據定理條件才能得出結論的，可結合符合題意的圖形作出判斷；
(2)否定命題時只需舉乙個反例；
(3)尋找恰當的特殊模型(如構造長方體)進行篩選．
考點二線面垂直的判定與性質
[典例]如圖，四稜錐pabcd中，pa⊥底面abcd，pa＝2，bc＝cd＝2，∠acb＝∠acd＝.
(1)求證：bd⊥平面pac；
(2)若側稜pc上的點f滿足pf＝7fc，求三稜錐p—bdf的體積．
解：(1)證明：因為bc＝cd，所以△bcd為等腰三角形，又∠acb＝∠acd，故bd⊥ac.
因為pa⊥底面abcd，所以pa⊥bd.
從而bd與平面pac內兩條相交直線pa，ac都垂直，所以bd⊥平面pac.
(2)三稜錐p—bcd的底面bcd的面積s△bcd＝bc·cd·sin∠bcd＝×2×2×sin＝.
由pa⊥底面abcd，得：vp—bcd＝·s△bcd·pa＝××2＝2.
由pf＝7fc，得三稜錐f bcd的高為pa，故
vf—bcd＝·s△bcd·pa＝×××2＝.
所以vp bdf＝vp bcd－vf bcd＝2－＝.
變式練習：如圖所示，在四稜錐p－abcd中，ab⊥平面pad，ab∥cd，pd＝ad，e是pb的中點，f是dc上的點且df＝ab，ph為△pad中ad邊上的高
(1)證明：ph⊥平面abcd；
(2)若ph＝1，ad＝，fc＝1，求三稜錐e－bcf的體積；
(3)證明：ef⊥平面pab.
(1)證明：因為ab⊥平面pad，ph平面pad，所以ph⊥ab.
因為ph為△pad中ad邊上的高，所以ph⊥ad.
因為ph平面abcd，ab∩ad＝a，ab，ad平面abcd，
所以ph⊥平面abcd.
(2)如上圖，連線bh，取bh的中點g，連線eg.
因為e是pb的中點，所以eg∥ph，且eg＝ph＝.
因為ph⊥平面abcd，所以eg⊥平面abcd.
因為ab⊥平面pad，ad平面pad，所以ab⊥ad.
所以底面abcd為直角梯形，所以ve－bcf＝s△bcf·eg＝··fc·ad·eg＝.
(3)證明：取pa中點m，連線md，me，因為e是pb的中點，所以meab.
又因為dfab，所以medf，所以四邊形mefd是平行四邊形，所以ef∥md.
因為pd＝ad，所以md⊥pa.，因為ab⊥平面pad，所以md⊥ab.
因為pa∩ab＝a，所以md⊥平面pab，所以ef⊥平面pab.
[解題通法]
1．解答此類問題的關鍵在於熟練把握空間垂直關係的判定與性質，注意平面圖形中的一些線線垂直關係的靈活利用，這是證明空間垂直關係的基礎．
2．由於「線線垂直」「線面垂直」「面面垂直」之間可以相互轉化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心而展開，這是化解空間垂直關係難點的技巧所在．
[針對訓練]
如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，e為稜c1d1的中點，f為稜bc的中點．
(1)求證：直線ae⊥直線da1；
(2)**段aa1上求一點g，使得直線ae⊥平面dfg.
解：(1)證明：連線ad1，bc1，由正方體的性質可知，da1⊥ad1，da1⊥ab，又ab∩ad1＝a，∴da1⊥平面abc1d1，又ae平面abc1d1，∴da1⊥ae.
(2)如上圖所示g點即為a1點，證明如下：
由(1)可知ae⊥da1，取cd的中點h，連線ah，eh，由df⊥ah，df⊥eh，ah∩eh＝h，可證df⊥平面ahe，∵ae平面ahe，∴df⊥ae.
又df∩a1d＝d，∴ae⊥平面dfa1，即ae⊥平面dfg.
考點三面面垂直的判定與性質
[典例] 如圖，四稜錐p abcd中，ab⊥ac，ab⊥pa，ab∥cd，ab＝2cd，e，f，g，m，n分別為pb，ab，bc，pd，pc的中點．
8 5直線 平面垂直的判定與性質
一 選擇題 1 設l，m是兩條不同的直線，是乙個平面，則下列命題正確的是 a 若l m，m 則lb 若l l m，則m c 若l m 則l md 若l m 則l m 答案 b 2 已知 表示兩個不同的平面，m為平面 內的一條直線，則 是 m 的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件 c 充要條件d ...
直線與平面垂直的判定
2.3.1 直線與平面垂直的判定 一 教學目標 1 知識與技能 1 使學生掌握直線與平面垂直的定義及判定定理 2 使學生掌握判定直線和平面垂直的方法 3 培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納 概括結論。2 過程與方法 1 通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定...
直線與平面垂直的判定
引入 知識點 一 相關概念 直線與平面垂直的定義 一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，則稱這條直線和這個平面垂直.直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點叫做垂足.從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離。記作 畫法 二 判定定理 問題 1 直線與平面內的...