典型高考數學試題解讀與變式2018版
【考綱要求】
1．理解空間直線、平面位置關係的定義．
2．了解可以作為推理依據的公理和定理．
3．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關係的簡單命題．
4．能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理．
5．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的平行關係的簡單命題．
6．能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質和判定定理．
7．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的位置關係的簡單命題．
【命題規律】
直線與平面平行的判定以及平面與平面平行的判定是高考熱點.**2023年的高考以稜柱、稜錐為載體考查空間中的平行關係.
線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質是高考熱點，備考時應掌握線面、面面垂直的判定與性質定理，了解線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉化思想，逐步學會綜合運用數學知識分析解決問題的能力．
【典型高考試題變式】
（一）空間點、直線、平面之間的位置關係
例1.【2016全國2卷（理）】α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那麼α⊥β．
②如果m⊥α,n∥α,那麼m⊥n．
③如果α∥β,mα,那麼m∥β．
④如果m∥n,α∥β,那麼m與α所成的角和n與β所成的角相等．
其中正確的命題有 ．（填寫所有正確命題的編號）
【答案】②③④
【方法技巧歸納】點、線、面位置關係常借助直線、平面的平行與垂直的判定定理與性質定理進行推理判斷，並且要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知並認識空間點、線、面的位置關係.
【變式1】【改編例題中問法，考查對課本中公理的掌握情況】【2013安徽卷（理）】在下列命題中，不是公理的是（ ）
a.平行於同乙個平面的兩個平面相互平行
b.過不在同一條直線上的三點，有且只有乙個平面
c.如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在此平面內
d.如果兩個不重合的平面有乙個公共點， 那麼他們有且只有一條過該點的公共直線
【答案】a
【解析】a選項是證明平面平行的乙個定理，而是課本上的公理，體現了高考不脫離課本.
【變式2】【改編例題的條件和問法】【2018屆廣東省珠海一中等六校第一次聯考】已知是異面直線， 平面， 平面，直線滿足，且，則（ ）
a. ，且
b. ，且
c. 與相交，且交線垂直於
d. 與相交，且交線平行於
【答案】d
【解析】若,則,與是異面直線矛盾;過點o,分別作，且，則確定一平面，則 ，設與相交於，則，且,因此 ,從而 ，選d.
【變式3】【改編例題的條件和問法】【2017屆陝西省西安市西北工業大學附屬中學第七次模擬考試】在下列命題中，屬於真命題的是（ ）
a. 直線都平行於平面，則
b. 設是直二面角，若直線，則
c. 若直線在平面內的射影依次是乙個點和一條直線，（且），則在內或與平行
d. 設是異面直線，若與平面平行，則與相交
【答案】c
（二）截面問題
例2.【2016全國1卷】平面過正方體的頂點，平面，平面，平面，則，所成角的正弦值為（ ）.
a. b. c. d.
【答案】a
【解析】 解法一：將圖形延伸出去，構造乙個正方體，如圖所示.通過尋找線線平行構造出平面，即平面，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為．故選a．
解法二（原理同解法一）：過平面外一點作平面，並使平面，不妨將點變換成，作使之滿足同等條件，在這樣的情況下容易得到，即為平面，如圖所示，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為．故選a．
【方法技巧歸納】幾何體的截面問題主要依據公理3、線面平行的性質定理、面面平行的性質定理加以解決，有時需要擴充平面，延長直線找交點.
【變式1】【改編例題的條件，正方體中動態截面問題】【2013安徽卷】如圖，正方體的稜長為1，為的中點，為線段上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為，則下列命題正確的是寫出所有正確命題的編號）.
①當時，為四邊形
②當時，為等腰梯形
③當時，與的交點滿足
④當時，為六邊形
⑤當時，的面積為
【答案】①②③⑤
【解析】（1），s等腰梯形，②正確，圖如下：
（2），s是菱形，面積為，⑤正確，圖如下：
（3），畫圖如下：，③正確
（4），如圖是五邊形，④不正確；
（5），如下圖，是四邊形，故①正確
【變式2】【改編例題的條件，截面面積的求解】【2017屆江西九江市三模】如圖所示，在正方體中，點在稜上， 分別是稜的中點，過三點的截面將正方體分成兩部分，則正方體的四個側面被截面截得的上、下兩部分面積之比為（ ）
36專題三十六直線 平面平行與垂直的綜合應用
考點分析 高考對平行 垂直關係的考查主要以線面平行 線面垂直為核心，以多面體為載體結合平面幾何知識，考查判定定理 性質定理等內容，難度為中低檔題目.利用定理證明線面關係時要注意結合幾何體的結構特徵，尤其注意對正稜柱 正稜錐等特殊幾何體性質的靈活運用，進行空間線面關係的相互轉化.主要考查方式有以下幾種...
考點直線 平面平行與垂直的判定及其性質
7.2010南通模擬 在四稜錐p abcd中，四邊形abcd是梯形，ad bc，abc 90 平面pab 平面abcd，平面pad 平面abcd.1 求證 pa 平面abcd 2 若平面pab平面pcd，問 直線l能否與平面abcd平行？請說明理由.解析 1 因為 abc 90 ad bc，所以ad...
直線與平面垂直的判定
2.3.1 直線與平面垂直的判定 一 教學目標 1 知識與技能 1 使學生掌握直線與平面垂直的定義及判定定理 2 使學生掌握判定直線和平面垂直的方法 3 培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納 概括結論。2 過程與方法 1 通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定...