2.3.1直線與平面垂直的判定
一、說教材
1、 教材的地位和作用：
《直線與平面垂直的判定第一課時》是人教版高中數學新教材必修2第2章第3節。在此之前，學生已學習了直線和平面平行的判定及性質,這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用。它是要重點研究的一種線面關係，它也是學生進一步研究多面體和旋轉體的基礎。
因此，它起著承上啟下的作用。同時，也是培養學生的空間想象力和邏輯思維能力的重要素材，為培養學生的創新意識和創新能力提供了乙個良好的契機。
2、教學目標
根據上述教材結構，考慮到學生已有的認知結構和心理特徵 ，制定如下教學目標：
（1）知識與技能：
①借助對**、例項的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義，並能正確理解直線與平面垂直的定義。
②通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直判定的定理，並能運用判定定理證明一些空間位置關係的簡單命題，進一步培養學生的空間觀念。
（2）過程與方法：培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納、概括結論。
（3）情感與態度：
①讓學生親身經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。
②培養學生學會從「感性認識」到「理性認識」過程中獲取新知。
3、重點和難點
教學重點：操作確認並概括出直線與平面垂直的定義和判定定理
教學難點：操作確認並概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用
2、說教法
(1)「引導—**式」教學方法。**面垂直定義的建構中，先引導學生觀察例項和**直觀感知概念，然後引導學生對概念進行抽象概括；而在判定定理的**過程中，先借助學生熟悉的長方體模型和生活中簡單的經驗引導學生對定理進行猜想，再引導學生通過動手操作摺紙實驗來確認定理，最後引導學生對定理進行歸納總結。整個教學過程遵循「直觀感知—操作確認—歸納總結」的認知規律，注重發展學生的合情推理能力，同時，加強空間觀念的培養，注重知識產生的過程性。
(2)採用「從特殊到一般」、「從具體到抽象」的方法。在定義和定理的**過程中，從具體**和實物模型出發引導學生直觀感知，再到定義定理的抽象概括。這有助於學生對知識進行主動建構；有利於突出重點、解決難點；也有利於發揮學生的創造性。
三、說學法
對於高中的學生已經具備一定的自主**和合作能力，因此課前先安排學生自行查閱有關「直線與平面垂直」的**，教學中，安排學生以小組為單位討論交流，對線面垂直定義和定理進行抽象概括，指導學生動手操作手中的三角板和筆加深概念的本質理解，操作摺紙實驗完成定理的**。從中體現出學生活躍的思維、濃厚的興趣、強烈的參與意識和自主**能力。
四、教學過程
（一）模擬引入
我們知道，同一平面內，直線與直線之間有平行和相交兩種關係，垂直是相交的一種特殊情況，通過前面的學習可以知道，直線與平面之間也存在平行的關係，自然地，我們就可以想，直線與平面之間是否也存在垂直關係呢？我們又怎麼判斷一條直線與乙個平面垂直呢？
（二）觀察概括
1.在生活中，很多東西可以讓我們感受到直線與平面垂直的現象，請同學們觀察**、。這時就要思考乙個問題：
既然我們要判斷一條直線與乙個平面是否垂直，那麼怎樣理解直線與平面垂直呢，也就是說，直線與平面垂直的定義是什麼？
2.帶著這個問題，一起來觀察乙個例子。
一根竹竿ab垂直立在平面α上，b是竹竿與α的交點。陽光斜射過來時，竹竿ab會在平面α上產生乙個影子。影子所在的直線與ab所在直線有什麼樣的關係呢？（答：垂直）
很好。隨著時間的改變，太陽會改變，竹竿ab的影子也會跟著改變（ppt演示）。而影子在變化的時候，影子所在直線與ab所在的直線的關係有沒有改變呢？
（答：沒有）對，不管影子怎麼改變，他們的關係始終是垂直的。那麼影子所在的直線有什麼特點呢？
（引導回答：過b點）這樣我們就發現了一件事情，就是：α內過點b的直線⊥ab所在直線。
那α內不過點b的直線與ab所在直線是不是垂直呢？（ppt演示，可叫學生回答）。通過觀察圖中會發現，我們可以過b點作b1c1 的平行線bc，而bc與ab所在直線垂直，由平行線的傳遞性可以知道，b1c1與ab所在直線垂直，這樣我們又發現了一件事情，就是：
α內不過點b的直線⊥ab所在直線（ppt演示）。
加以概括，就會得到：α內任意一條直線⊥ab所在直線，這時ab與α是垂直的。
提出直線與平面垂直的定義：
如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，則稱直線l與平面α垂直，記作l⊥α。這時，l與α的交點稱為垂足，l稱為α的垂線，α稱為l的垂面。
3.有了定義，我們就可以用它來判斷直線與平面垂直，但可以發現那是很困難的。根據定義，我們需要把平面內的每一條直線一一取出驗證，而乙個平面裡有多少條直線呢？
（答：無數條）我們要把無數條直線一一拿出來驗證，有時候比較麻煩的，有沒有別的判斷方法呢？下面就來進行新的探索。
（三）探索思考
1.思考：如果直線l與平面α內的一條直線垂直，直線l與平面α是否互相垂直？（學生觀察，請學生發言）我們可以輕鬆地舉出乙個反例出來（ppt演示），這種情況是錯誤的。
2. .思考：如果直線l與平面α內的兩條直線垂直，直線l與平面α是否互相垂直？（引導：平面α內的兩條直線有哪些可能的情況？答：平行和相交）
分情況討論：假如平面α內的兩條直線平行，直線l與平面α是否互相垂直？（可學生發言）由平行線的傳遞性，我們很快就會發現，這時的情況和我們剛才討論的情況（就是探索1）是一樣的，所以錯。
假如平面α內的兩條直線相交，情況會是怎麼樣呢？
3.探索：如果直線l與平面α內的兩條相交直線垂直，直線l與平面α是否互相垂直？
同學們一起來做乙個小實驗：準備三張三角形的紙片，
第一步：取出第一張紙片，沿著底邊上的高對折，然後立在水平的桌面上（可以發現，紙片可以直立在桌面上）；
第二步：取出第二張紙片，折線與底邊上的高平行，操作同上（可以發現，紙片仍可以直立在桌面上）；
第三步：取出第三張紙片，折線不能與底邊上的高平行，操作同上（可以發現，不管怎麼折，紙片都不能直立在桌面上）；
提問：我們從這個小實驗中可以發現什麼東西呢？
4.引導：我們發現，只有折線是底邊上的高或者與底邊上的高平行的時候，紙片才能直立在水平桌面上（ppt演示），這時折線與桌面是垂直（可學生答）的。
折線有什麼特點呢？（學生觀察：與底邊垂直，與翻摺後底邊的兩部分垂直）很好，折線與底邊是垂直的，翻摺後垂直關係不變，底邊的兩部分與折線垂直。
這兩部分所在直線有什麼特點呢？我們把它們的共同特點提取出來（ppt演示），就可以知道，它們是平面內的兩條相交直線，這樣，同學們有沒有什麼新的發現呢？（學生答：
如果直線l與平面α內的兩條相交直線垂直，直線l與平面α互相垂直的）對了（ppt），說的很好，他發現如果直線l與平面α內的兩條相交直線垂直，直線l與平面α互相垂直，其他人發現了嗎？（稍停頓）
這個發現是不是正確的呢？我們還不能下結論，因為這個只是乙個數學猜想，如果要說它是正確的話，就要通過數學證明才行。這個證明過程就先不講，同學們可以查閱資料。
其實，這個就是我們的直線與平面垂直的判定定理。
5.補充：通過判定定理我們可以發現，要判斷一條直線與乙個平面是否垂直，
只需要驗證平面內的兩條直線就夠了，而這兩條直線一定要是相交的。接下來，一起通過一道例題來用一下判定定理。
（四）例題講解
例1. 如圖，已知求證： ．
解法一：設m為α內的任一條直線。
因為 ，根據直線與平面垂直的定義知
又因為 ，所以
因為m為α內的任一條直線，
所以 。
解法二：設m，n為α內的兩條相交直線。
因為 ，根據直線與平面垂直的定義知 ，
又因為 ，所以 ，
根據直線與平面垂直的判定定理知
在我們判斷直線與平面垂直的時候，要根據不同的情況，選擇不同的方法來判斷，其實在更多的時候，判定定理要比定義更加簡單方便，這個在練習中會逐漸體會到。
五、布置作業，學以致用
2 3 1直線與平面垂直的判定
學習目標1 能說出線面垂直的判定定理，並能用符號表示 會用靈活應用判定定理證明直線和平面垂直 1 閱讀課本，完成下面填空 線面垂直的定義 如果直線l與平面 內的 直線都就說直線l與平面 垂直，記作 直線l叫做平面 的 平面 叫做直線l的 直線與平面垂直時，它們唯一的公共點p叫做 線面垂直的判定定理 ...
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直線與平面垂直的判定 的教案 一 教學目標 1 知識與技能 1 使學生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理 2 使學生掌握判定直線和平面垂直的方法 3 培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納概括結論。2 過程與方法 1 通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定義的形...
2 3 1直線與平面垂直的判定教學設計優秀教案
設計意圖 通過練習強化對概念的理解，突出概念裡重要元素。在考察對垂直概念的理解以外還把具體的文字語言改為用數學語言表示，再次教育學生習慣數學語言，把具體問題抽象化。引入判定定理 師 我們已經掌握了直線與平面垂直的概念了，那我們能否用它來判斷直線與平面垂直呢？我們再看一下它的概念 展示概念 我們注意到...