一、選擇題
1．設l，m是兩條不同的直線，α是乙個平面，則下列命題正確的是( )．
a．若l⊥m，mα，則lb．若l⊥α，l∥m，則m⊥α
c．若l∥α，mα，則l∥md．若l∥α，m∥α，則l∥m
答案 b
2．已知α、β表示兩個不同的平面，m為平面α內的一條直線，則「α⊥β」是「m⊥β」的( )．
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
解析由麵麵垂直的判定定理，知m⊥βα⊥β.
答案 b
3．若m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是( )
a．若α∥β，m⊥α，則m⊥β
b．若m∥n，m⊥α，則n⊥α
c．若m∥α，m⊥β，則α⊥β
d．若α∩β＝m，且n與α、β所成的角相等，則m⊥n
解析容易判定選項a、b、c都正確，對於選項d，當直線m與n平行時，直線n與兩平面α、β所成的角也相等，均為0°，故d不正確．
答案 d
4．設a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，則下列結論成立的是( )
a．若aα，bβ，且a∥b，則α∥β
b．若aα，bβ，且a⊥b，則α⊥β
c．若a∥α，bα，則a∥b
d．若a⊥α，b⊥α，則a∥b
解析分別在兩個相交平面內且和交線平行的兩條直線也是平行線，故選項a的結論不成立；任意兩個相交平面，在乙個平面內垂直於交線的直線，必然垂直於另乙個平面內與交線平行的直線，故選項b中的結論不成立；當直線與平面平行時，只有經過這條直線的平面和已知平面的交線及與交線平行的直線與這條直線平行，其餘的直線和這條直線不平行，故選項c中的結論不成立；根據直線與平面垂直的性質定理知，選項d中的結論成立．正確選項d.
答案 d
5. 設是直線，a，β是兩個不同的平面（ ）
a. 若∥a，∥β，則ab. 若∥a，⊥β，則a⊥β
c. 若a⊥β，⊥a，則d. 若a⊥β,∥a，則⊥β
答案 b
6．如圖1所示，在正方形abcd中，e、f分別是bc、cd的中點，g是ef的中點，現在沿ae、af及ef把這個正方形折成乙個四面體，使b、c、d三點重合，重合後的點記為h，如圖2所示，那麼，在四面體aefh中必有( )．
a．ah⊥△efh所在平面b．ag⊥△efh所在平面
c．hf⊥△aef所在平面d．hg⊥△aef所在平面
解析折成的四面體有ah⊥eh，ah⊥fh，∴ah⊥面hef.
答案 a
7．已知p為△abc所在平面外的一點，則點p在此三角形所在平面上的射影是△abc垂心的充分必要條件是( )．
a．pa＝pb＝pc
b．pa⊥bc，pb⊥ac
c．點p到△abc三邊所在直線的距離相等
d．平面pab、平面pbc、平面pac與△abc所在的平面所成的角相等
解析條件a為外心的充分必要條件，條件c、d為內心的必要條件，故選b.
答案 b
二、填空題
8．已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，下列四個命題：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n.
其中正確的命題是________(填上所有正確命題的序號)．
解析 ②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β或α，β相交，所以②錯誤．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β或α，β相交，所以③錯誤．故填①④.
答案 ①④
9．結論「過一點作乙個平面的垂線只能作一條」是_______的(填「正確」或「錯誤」)．
解析理由是如果能夠作兩條，則根據直線與平面垂直的性質定理，這兩條直線平行，但根據已知這兩條直線又相交，這是不可能的．
答案正確
10．已知p為△abc所在平面外一點，且pa、pb、pc兩兩垂直，則下列命題：
①pa⊥bc；②pb⊥ac；③pc⊥ab；④ab⊥bc.
其中正確的個數是________．
解析如圖所示．∵pa⊥pc、pa⊥pb，
pc∩pb＝p，∴pa⊥平面pbc.
又∵bc平面pbc，∴pa⊥bc.
同理pb⊥ac、pc⊥ab.但ab不一定垂直於bc.
答案 3個
11．設α、β、γ為彼此不重合的三個平面，l為直線，給出下列命題：
①若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ；
②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，則l⊥γ；
③若直線l與平面α內的無數條直線垂直，則直線l與平面α垂直；
④若α內存在不共線的三點到β的距離相等，則平面α平行於平面β.
其中真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)．
解析借助於正方體易知①②正確；對於③，若平面α內與直線l垂直的無數條直線都平行，則直線l可能與平面α不垂直，所以③錯；④中的不共線的三點有可能是在平面β的兩側，所以兩個平面可能相交可能平行．故填①②.
答案 ①②
12. 如圖所示，在四稜錐p－abcd中，pa⊥底面abcd，且底面各邊都相等，m是pc上的一動點，當點m滿足________時，平面mbd⊥平面pcd.(只要填寫乙個你認為是正確的條件即可)
解析由定理可知，bd⊥pc.
∴當dm⊥pc時，即有pc⊥平面mbd，而pc平面pcd，
∴平面mbd⊥平面pcd.
答案 dm⊥pc(答案不唯一)
三、解答題
13．已知斜三稜柱abc－a1b1c1的底面是直角三角形，∠c＝90°，點b1在底面上射影d落在bc上．
(1)求證：ac⊥平面bb1c1c；
(2)若ab1⊥bc1，且∠b1bc＝60°，求證：a1c∥平面ab1d.
解析 (1)∵b1d⊥平面abc，ac平面abc，
∴b1d⊥ac.
又∵bc⊥ac，b1d∩bc＝d，
∴ac⊥平面bb1c1c.
(2) ≠
bc1⊥b1c，
∴四邊形bb1c1c為菱形，
∵∠b1bc＝60°，b1d⊥bc於d，∴d為bc的中點．
連線a1b，與ab1交於點e，在三角形a1bc中，de∥a1c，
∴a1c∥平面ab1d.
14．如圖所示，已知pa⊥矩形abcd所在平面，m，n分別是ab，pc的中點．
(1)求證：mn⊥cd；
(2)若∠pda＝45°，求證：mn⊥平面pcd.
證明 (1)如圖，鏈結ac，an，bn，
∵pa⊥平面abcd，
∴pa⊥ac，在rt△pac中，n為pc中點，
∴an＝pc.
∵pa⊥平面abcd，
∴pa⊥bc，又bc⊥ab，
pa∩ab＝a，
∴bc⊥平面pab，
∴bc⊥pb，
從而在rt△pbc中，bn為斜邊pc上的中線，
∴bn＝pc.∴an＝bn，∴△abn為等腰三角形，又m為底邊的中點，∴mn⊥ab，
又∵ab∥cd，∴mn⊥cd.
(2)鏈結pm、mc，∵∠pda＝45°，pa⊥ad，∴ap＝ad.
∵四邊形abcd為矩形，∴ad＝bc，∴pa＝bc.
又∵m為ab的中點，∴am＝bm.
而∠pam＝∠cbm＝90°，∴pm＝cm.
又n為pc的中點，∴mn⊥pc.
由(1)知，mn⊥cd，pc∩cd＝c，∴mn⊥平面pcd.
15．如圖所示是某直三稜柱(側稜與底面垂直)被削去上底後的直觀圖與三檢視中的側檢視、俯檢視，在直觀圖中，m是bd的中點，側檢視是直角梯形，俯檢視是等腰直角三角形．
(1)若n是bc的中點，證明：an∥平面cme；
(2)證明：平面bde⊥平面bcd.
證明 (1)連線mn，則mn∥cd，ae∥cd，
又mn＝ae＝cd，∴四邊形anme為平行四邊形，
∴an∥em.∵an平面cme，em平面cme，
∴an∥平面cme.
(2)∵ac＝ab，n是bc的中點，an⊥bc，
又平面abc⊥平面bcd，∴an⊥平面bcd.
由(1)，知an∥em，∴em⊥平面bcd.
又em平面bde，∴平面bde⊥平面bcd.
【點評】 解決立體幾何中的平行和垂直關係問題主要步驟有：
第一步：根據條件合理轉化．
第二步：寫清推證平行或垂直的所需條件，注意要充分．
第三步：寫出結論．
16．如圖所示，在直四稜柱abcda1b1c1d1中，db＝bc，db⊥ac，點m是稜bb1上一點．
(1)求證：b1d1∥平面a1bd；
(2)求證：md⊥ac；
(3)試確定點m的位置，使得平面dmc1⊥平面cc1d1d.
解析 (1)證明由直四稜柱，得bb1∥dd1，又∵bb1＝dd1，
∴bb1d1d是平行四邊形，
∴b1d1∥bd.
而bd平面a1bd，b1d1平面a1bd，
∴b1d1∥平面a1bd.
(2)證明 ∵bb1⊥平面abcd，ac平面abcd，
∴bb1⊥ac.
又∵bd⊥ac，且bd∩bb1＝b，∴ac⊥平面bb1d.
而md平面bb1d，∴md⊥ac.
(3) 當點m為稜bb1的中點時，
平面dmc1⊥平面cc1d1d.取dc的中點n，d1c1的中點
n1，連線nn1交dc1於o，連線om，如圖所示．
∵n是dc的中點，bd＝bc，
∴bn⊥dc.又∵dc是平面abcd與平面dcc1d1的交線，
而平面abcd⊥平面dcc1d1，
∴bn⊥平面dcc1d1.
又可證得o是nn1的中點，
∴bm∥on且bm＝on，即bmon是平行四邊形．
∴bn∥om.∴om⊥平面cc1d1d.
∵om平面dmc1，
∴平面dmc1⊥平面cc1d1d.
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直線與平面垂直的判定
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