2014屆高考數學（理）一輪複習教案：第七篇不等式
第4講基本不等式
【2023年高考考向】1．考查應用基本不等式求最值、證明不等式的問題．2．考查應用基本不等式解決實際問題．
【複習指導】1．突出對基本不等式取等號的條件及運算能力的強化訓練．2．訓練過程中注意對等價轉化、分類討論及邏輯推理能力的培養．
基礎梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的條件2)等號成立的條件：當且僅當時取等號．
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈r)； (2)＋≥2(a，b同號)；(3)ab≤2(a，b∈r)； (4)≥2(a，b∈r)．
注意公式的逆用，(1)≥2≥ab(a，b∈r，當且僅當a＝b時取等號)；
(2)≥≥≥(a＞0，b＞0，當且僅當a＝b時取等號)．
這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們．
3．算術平均數與幾何平均數
設a＞0，b＞0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數大於或等於它的幾何平均數．（推廣
4．利用基本不等式求最值問題: 已知x＞0，y＞0，則
(1)如果積xy是定值p，那麼當且僅當x＝y時，x＋y有最小值是2.(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那麼當且僅當x＝y時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)
題型一：利用基本不等式證明不等式
【例1】下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正確的個數是( )．
a．0 b．1 c．2 d．3
【例2】設a,b均為實數，求證：
(1)運用基本不等式時，要特別注意「拆」「拼」「湊」等技巧，使其滿足基本不等式中「正」「定」「等」的條件．
(2)連續使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．
利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最後轉化為需證問題．
【訓練1】已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：＋＋≥a＋b＋c.
【訓練2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求證：＋＋≥9.
題型二：利用基本不等式求最值
【例1】 （1）若x+2y=4，則的最小值為_______.（2）.函式的圖象最低點為____
（3）x>0,y>0,且x+4y=40,則的最大值為________
使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提「一正、二定、三相等」的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．
【例2】(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，則＋的最小值為________；
(2)當x＞0時，則f(x)＝的最大值為分式結構的轉型-分離常數法）
【訓練1】已知t＞0，則函式y＝的最小值為________．
【例3】（1）設0【試一試】若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）
a． b． c．5 d．6
【訓練1】 (1)已知x＞1，則f(x)＝x＋的最小值為________．
(2)已知0＜x＜，則y＝2x－5x2的最大值為________．
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，則x＋y的最小值為________．
題型三：利用基本不等式解決恆成立、實際問題
【例1】當x>2時，不等式恆成立，則實數a的取值範圍是______.
【訓練1】若對任意x＞0，≤a恆成立，則a的取值範圍是________．
【訓練2】已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恆成立，則實數m的最大值是________．
當不等式一邊的函式(或代數式)的最值較易求出時，可直接求出這個最值(最值可能含有引數)，然後建立關於引數的不等式求解．
【例2】某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠牆的矩形小房，由於地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過5 m．房屋正面的造價為400元/m2，房屋側面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果牆高為3 m，且不計房屋背面的費用．當側面的長度為時，總造價最低。
解實際應用題要注意以下幾點：
(1)設變數時一般要把求最大值或最小值的變數定義為函式；
(2)根據實際問題抽象出函式的解析式後，只需利用基本不等式求得函式的最值；
(3)在求函式的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變數的取值範圍)內求解．
鞏固演練提公升
1.設a＞b＞0，則a2＋＋的最小值是( )
a．1 b．2c．3d．4
2. 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求＋的最小值．
3.設m是三角形abc內一點，且三角形abc面積為1，定義f(m)=(m,n,p)，其中m,n,p，分別為三角形mbc,mca,mab的面積，若f(m)=(, x,y)，則的最小值是
4.函式的影象經過定點a，若a點在直線上mx+ny+1=0（其中m,n>0），則的最小值等於( )
a．16b．12c．9d．8
5.已知a,b,c都是實數，求證：。
2019屆高考數學知識點總複習教案基本不等式
第4講基本不等式 a級基礎演練 時間 30分鐘滿分 55分 一 選擇題 每小題5分，共20分 1 2013 寧波模擬 若a 0，b 0，且a 2b 2 0，則ab的最大值為 ab 1c 2d 4 解析 a 0，b 0，a 2b 2，a 2b 2 2，即ab 當且僅當a 1，b 時等號成立 答案 a ...
第4講數學開放題
專題簡析 數學開放題是相對於傳統的封閉題而言的一種題型。由於客觀世界複雜多變，數學問題也必然複雜多變，往往不可能得到唯一答案。一般而言，數學開放題具有以下三個特徵 1 條件不足或多餘 2 沒有確定的結論或結論不唯一 3 解題的策略 思路多種多樣。解答數學開放題，需要我們從不同角度分析和思考問題，緊密...
2019高考數學分類彙總考點29基本不等式
考點29 基本不等式 一 選擇題 1.2013 重慶高考理科 3 的最大值為 abcd.解題指南 直接利用基本不等式求解.解析 選b.當或時,當時,當且僅當即時取等號.2.2013 山東高考理科 12 設正實數x,y,z滿足x2 3xy 4y2 z 0.則當取得最大值時，的最大值為 a.0 b.1 ...