2019屆高考數學橢圓

2023-02-09 02:15:06 字數 3310 閱讀 1370

第一節橢圓

一.基本知識概要

1 橢圓的兩種定義:

①平面內與兩定點f1,f2的距離的和等於定長的點的軌跡,即點集m=;(時為線段,無軌跡)。其中兩定點f1,f2叫焦點,定點間的距離叫焦距。

②平面內一動點到乙個定點和一定直線的距離的比是小於1的正常數的點的軌跡,即點集m={p|,0<e<1的常數。(為拋物線;為雙曲線)

2 標準方程:(1)焦點在x軸上,中心在原點:(a>b>0);

焦點f1(-c,0), f2(c,0)。其中(乙個)

(2)焦點在y軸上,中心在原點:(a>b>0);

焦點f1(0,-c),f2(0,c)。其中

注意:①在兩種標準方程中,總有a>b>0,並且橢圓的焦點總在長軸上;

②兩種標準方程可用一般形式表示:ax2+by2=1 (a>0,b>0,a≠b),當a<b時,橢圓的焦點在x軸上,a>b時焦點在y軸上。

3.性質:對於焦點在x軸上,中心在原點:(a>b>0)有以下性質:

座標系下的性質:

1 範圍:|x|≤a,|y|≤b;

2 對稱性:對稱軸方程為x=0,y=0,對稱中心為o(0,0);

3 頂點:a1(-a,0),a2(a,0),b1(0,-b),b2(0,b),長軸|a1a2|=2a,短軸|b1b2|=2b;(半長軸長,半短軸長);

4 準線方程:;或

5 焦半徑公式:p(x0,y0)為橢圓上任一點。|pf1|==a+ex0,|pf2|==a-ex0;|pf1|==a+ey0,|pf2|==a-ey0;

平面幾何性質:

6 離心率:e=(焦距與長軸長之比);越大越扁,是圓。

7 焦準距;準線間距

8 兩個最大角

焦點在y軸上,中心在原點:(a>b>0)的性質可類似的給出(請課後完成)。

4.重難點:橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單的幾何性質。

5.思維方式:待定係數法與軌跡方程法。

6.特別注意:橢圓方程中的a,b,c,e與座標系無關,而焦點座標,準線方程,頂點座標,與座標系有關.

因此確定橢圓方程需要三個條件:兩個定形條件a,b,乙個定位條件焦點座標或準線方程.

二.例題:

例1:(1) 已知橢圓的對稱軸是座標軸,o為座標原點,f是乙個焦點,a是乙個頂點,若橢圓的長軸長是6,且cos∠ofa=2/3。則橢圓方程為

(2) 設橢圓上的點p到右準線的距離為10,那麼點p到左焦點的距離等於_______。

(3) 已知f1為橢圓的左焦點,a,b分別為橢圓的右頂點與上頂點,p為橢圓上的點,當pf1⊥f1a,po∥ab(o為橢圓中心)時,橢圓的離心率e教材p頁例1)。

(4)已知橢圓上的點p到左焦點的距離等於到右焦點的距離的兩倍,則p的座標是

解:(1) ∵橢圓的長軸長是6,且cos∠ofa=2/3,∴點a不是長軸的端點。∴|of|=c,|af|=a=3,∴c=2,b2=5。∴橢圓方程是,或。

(2)由橢圓的第二定義得:點p到左焦點的距離等於12。

(3) 設橢圓方程為(a>b>0), , f1(-c,0),則點,由po∥ab得kab=kop即,∴b=c,故。

(4)設p(x,y),f1,f2分別為橢圓的左右焦點。由已知橢圓的準線方程為,

故,∵|pf1|=2|pf2|,∴,故。

【思維點撥】1)求離心率一般是先得到a,b,c的乙個關係式,然後再求e; 2)由橢圓的乙個短軸端點,乙個焦點,中心o為頂點組成的直角三角形在求解橢圓問題中經常用到;(3)結合橢圓的第二定義,熟練運用焦半徑公式是解決第(3)小題的關鍵。

例2:如圖,設e:(a>b>0)的焦點為與,且。求證:的面積。(圖見教材p119頁例2的圖)

證明:設,則,

由餘弦定理有=

這樣即有

【思維點撥:解與有關的問題,常用正弦定理或餘弦定理,並結合來解決。

例3:若中心在原點,對稱軸為座標軸的橢圓與直線x+y=1交於a、b兩點,m為ab的中點,直線om(o為原點)的斜率為,且oa⊥ob,求橢圓的方程。

解:設橢圓方程為ax2+by2=1,a(x1,y1),b(x2,y2),m().

由消去y得.

∴ =1-,

∴,∴由得……①; 又oa⊥ob,∴x1x2+y1y2=0,即

x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0,∴, ∴a+b=2……②.

聯立①②得∴方程為.

【思維點撥】「oa⊥obx1x2+y1y2=0」(其中a(x1,y1),b(x2,y2))是我們經常用到的乙個結論.

例4:(備用)已知橢圓的焦點是f1(-1,0),f2(1,0),p為橢圓上的一點,且|f1f2|是|pf1|和|pf2|的等差中項。(1)求橢圓方程; (2)若點p在第三象限,且∠p f1f2=1200,求tan∠f1pf2。

解:(1)由題設2|f1f2|=|pf1|+|pf2|,c=1。∴2a=4,∴b=。∴橢圓方程為。

(2)設∠f1pf2=θ,則∠pf2 f1=600-θ,由正弦定理並結合等比定理可得到

,∴化簡可得,∴,

從而可求得tan∠f1pf2=。

【思維點撥】解與△p f1f2有關的問題(p為橢圓上的點)常用正弦定理或餘弦定理,並且結合|pf1|+|pf2|=2a來求解。

例5:(備用)(1)已知點p的座標是(-1,3),f是橢圓的右焦點,點q在橢圓上移動,當取最小值時,求點q的座標,並求出其最小值。

(2)設橢圓的中心是座標原點,長軸在x軸上,離心率為,已知點p這

個橢圓上的點的最遠距離是,求這個橢圓的方程,並求橢圓上到點p的距離是

的點的座標。

解(1)由橢圓方程可知a=4,b=,則c=2, ,

橢圓的右準線方程為x=8 過點q作qq』於點q』,

過點p作pp』於點p』,則據橢圓的第二定義知,

,易知當p、q、q』在同一條線上時,即當q』與p』點重合時,才能取得最小值,最小值為8-(-1)=9,此時點q的縱座標為-3,代入橢圓方程得。

因此,當q點運動到(2,-3)處時,取最小值9.

(2)設所求的橢圓的直角座標方程是

由,解得,設橢圓上的點(x,y)到點p的距離為d

則其中,如果, 則當y=-b時,d2取得最大值

解得b=與矛盾, 故必有當時d2取得最大值, 解得b=1,a=2 所求橢圓方程為

由可得橢圓上到點p的距離等於的點為,

三、課堂小結:

1.橢圓定義是解決問題的出發點,要明確引數a,b,c,,e的相互關係,幾何意義與一些概念的聯絡.尤其是第二定義,如果運用恰當,可收到事半功倍的效果(如關於求焦半徑的問題).

2.在橢圓的兩種標準方程中,總有a>b>0,並且橢圓的焦點總在長軸上;

3.待定係數法和數形結合是最基本的方法與思想.在解題時要熟練運用.

四、課外作業:

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