第4講數學歸納法
基礎梳理
1．歸納法
由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，通常叫做歸納法．根據推理過程中考查的物件是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法．
2．數學歸納法
(1)數學歸納法：設是乙個與正整數相關的命題集合，如果：①證明起始命題p1(或p0)成立；②在假設pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那麼可以斷定對一切正整數成立．
(2)用數學歸納法證明乙個與正整數有關的命題時，其步驟為：
①歸納奠基：證明當取第乙個自然數n0時命題成立；
②歸納遞推：假設n＝k，(k∈n*，k≥n0)時，命題成立，證明當n＝k＋1時，命題成立；
③由①②得出結論．
考向一用數學歸納法證明等式
【例1】 用數學歸納法證明：
對任意的n∈n*，＋＋…＋＝.
考向二用數學歸納法證明整除問題
【例2】是否存在正整數m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9對任意自然數n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，並證明你的結論；若不存在，說明理由．
【訓練2】 用數學歸納法證明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈n*)能被a2＋a＋1整除．
考向三用數學歸納法證明不等式
【例3】用數學歸納法證明：對一切大於1的自然數，不等式·…·>均成立．
【例4】等比數列{}的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函式且均為常數)的影象上.
（1）求r的值;
（11）當b=2時，記
證明：對任意的 ，不等式成立
【訓練3】 已知函式f(x)＝x3－x，數列滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，並說明理由．
考向四歸納、猜想、證明
【例5】數列滿足sn＝2n－an(n∈n*)．
(1)計算a1，a2，a3，a4，並由此猜想通項公式an；
(2)用數學歸納法證明(1)中的猜想．
[審題視點] 利用sn與an的關係式求出的前幾項，然後歸納出an，並用數學歸納法證明．
【訓練4】 由下列各式1＞，
1＋＋＞1，
1＋＋＋＋＋＋＞，
1＋＋＋…＋＞2，
1＋＋＋…＋＞，
…，你能得到怎樣的一般不等式，並加以證明．
【示例】 在數列、中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數列，bn，an＋1，bn＋1成等比數列(n∈n*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測，的通項公式，並證明你的結論；
(2)證明：＋＋…＋＜.
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