6.9數列通項公式的求法
例題精講
【例1】例3設是首項為1的正項數列，且（=1，2， 3，…），則它的通項公式是
【參***】已知等式可化為：
() (n+1), 即
時， ==．
【例2】已知數列中，求通項．
【參***】由得,
所以數列構成以為首項，以為公比的等比數列
所以,即 ．
【例3】已知為數列的前項和，，，求數列的通項公式．
【參***】，，當時，
．【例4】已知數列中，，求數列的通項公式．
【參***】，，令
則 ，【例5】已知數列中，，，求通項公式。
【參***】取倒數：
【例6】設正項數列滿足，（）．求數列的通項公式
【參***】兩邊取對數得：，，設，則，是以2為公比的等比數列，．
，，，∴
過關演練
1．在數列中，，，則
2．已知數列的前n項和sn滿足log2（sn+1）=n+1，求數列的通項公式
3．已知等比數列的首項，公比，設數列的通項為，求數列的通項公式．
4． 若在數列中，，，求通項
5．已知下列兩數列的前項和的公式，求的通項公式。
（12）
6． 已知數列中，，求數列的通項公式
7．已知函式，數列滿足，,
（1）求，，的值；
（2）求證：數列是等差數列，並求出的通項公式；
8．已知數列滿足．
（1）求證：數列{}是公比為2的等比數列；
（2）求．
9．已知數列滿足，求的通項公式．
10．設數列的前項和為，已知
（1）證明：當時，是等比數列；
（2）求的通項公式
6.10數列前項和的求法
例題精講
【例1】數列通項公式為則數列前n項和
【參***】
【例2】求數列，，，…，，…的前項和
【參***】∵=）==
【例3】求
【參***】當為奇數時：
當為偶數時：
∴【例4】求數列1，， ，……，的各項的和
【參***】其和為（）＋(＋……＋
)==【例5】求數列前n項的和
【參***】設①
②①－②得
∴【例6】求數列的前n項和
【參***】設
則 ＝＝
過關演練
1． 已知數列的通項公式為，設為的前項和，則____
2． 數列的前n項和_________
3．求5，55，555，…，的前n項和
4． 數列的前項和為，若，則等於（ ）
a．1 b． c． d．
5．已知數列中，
（1）求證數列不是等比數列，並求該數列的通項公式；
（2）求數列的前項和
6． 已知數列的前項和滿足條件，其中．
（1）求證：數列成等比數列；
（2）設數列滿足．若， 求數列的前項和
7． 數列：，求s2010．
8． 設數列滿足，．
（1）求數列的通項；
（2）設，求數列的前項和
直擊高考
一、填空題
1．（2023年上海高考文13）已知函式．項數為27的等差數列滿足,且公差． 若，則當時,．
2．（ 2023年上海高考文12） 在行列矩陣中，
記位於第行第列的數為，當時
3．（2023年上海高考文14）將直線、、（，）圍成的三角形面積記為，則
4．（2023年上海高考理11）將直線、（，）軸、軸圍成的封閉圖形的面積記為，則
5．（2023年上海高考文2
6．（2023年上海高考理14）已知點、和，記的中點為，取和中的一條，記其端點為、，使之滿足；記的中點為，取和中的一條，記其端點為、，使之滿足；依次下去，得到點，則
7．（2023年上海高考理6/文7）有一列正方體，稜長組成以1為首項、為公比的等比數列，體積分別記為，則
9． (2023年上海高考理1）計算
10．（2023年上海高考理10）設非零常數是等差數列的公差，隨機變數等可能地取值，則方差
11．（2023年上海高考文2）在等差數列中，若，則
12．（2023年上海高考理8文10）設無窮等比數列的公比為，若，則
二、選擇題
13．（2023年上海高考理18）設是各項為正數的無窮數列，是邊長為的矩形面積（），則為等比數列的充要條件為 （ ）
a 是等比數列
b 或是等比數列
c 和均是等比數列
d 和均是等比數列，且公比相同
14．（2023年上海高考文18）若（），則在中，正數的個數是（ ）
a．16b．72c．86d．100
15．（2023年上海高考理18）設，，在中，正數的個數是（ ）
a．25b．50c．75d．100
16．（2023年上海高考理17）在數列中，．若乙個7行12列的矩陣的第行第列的元素（；），則該矩陣元素能取到的不同數值的個數為（ ）
a．18b． 28c． 48d． 63
17．（2023年上海高考文18）記橢圓圍成的區域（含邊界）為
，當點分別在上時，的最大值分別是，則（ ）
a． 0bc． 2d．
三、解答題
18．（2023年上海高考文23）已知是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列
（1）若，是否存在，有請說明理由；
（2）若bn=aqn（a、q為常數，且aq≠0），對任意m存在k，有bm·bm+1=bk，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若an=2n+1，bn=3n，試確定所有的p，使數列中存在某個連續p項的和是中的一項，請證明．
19．（2023年上海高考理23）已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列
（1）若，是否存在，有說明理由；
（2）找出所有數列和，使對一切, ,並說明理由；
（3）若試確定所有的，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明
20．（2023年上海高考文21）已知數列的前項和為，且，
（1）證明：是等比數列；
（2）求數列的通項公式，並求出使得成立的最小正整數．
21．（2023年上海高考理20）已知數列的前項和為，且，
（1）證明：是等比數列；
（2）求數列的通項公式，並求出為何值時，取得最小值，並說明理由．
22．（2023年上海高考文23）已知數列和的通項公式分別為，（），將集合中的元素從小到大依次排列，構成數列。
（1）求三個最小的數，使它們既是數列中的項，又是數列中的項；
（2）中有多少項不是數列中的項？說明理由；
（3）求數列的前項和（）
23．（2023年上海高考理22）已知數列和的通項公式分別為，（），將集合中的元素從小到大依次排列，構成數列。
（1）求；
（2）求證：在數列中、但不在數列中的項恰為；
（3）求數列的通項公式
24． （2023年上海高考文23）對於項數為m的有窮數列數集，記（k=1,2,…,m），即為中的最大值，並稱數列是的控制數列．如1,3,2,5,5的控制數列是1,3,3,5,5．
（1）若各項均為正整數的數列的控制數列為2,3,4,5,5，寫出所有的；（4分）
（2）設是的控制數列，滿足（c為常數，k=1,2,…,m）．
求證：（k=1,2,…,m）；（6分）
（3）設m=100，常數．若，是的控制數列，
求．25．（2023年上海高考理23）對於數集，其中，，定義向量集． 若對於任意，存在，使得，則稱x具有性質p． 例如具有性質p．
（1）若x＞2，且，求x的值；
（2）若x具有性質p，求證：1x，且當xn＞1時，x1=1；）
（3）若x具有性質p，且x1=1，x2=q（q為常數），求有窮數列的通項公式．
26．（2023年上海高考文22）已知函式，無窮數列滿足，．
（1）若，求；
（2）若，且成等比數列，求的值；
（3）是否存在，使得成等差數列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由．
27．（2023年上海高考理23）給定常數，定義函式．數列滿足，．
（1）若，求及；
（2）求證：對任意，；
（3）是否存在，使得成等差數列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由．
28．（2023年上海高考理23）已知數列滿足，，．
（1）若，求的取值範圍；
（2）設是公比為的等比數列，．若，，
求的取值範圍；
（3）若成等差數列，且，求正整數的最大值，
以及取最大值時相應數列的公差．
29．（2023年上海高考文23）已知數列滿足，，．
（1）若，求的取值範圍；
（2）設是等比數列，且，求正整數的最小值，以及取最小值時相應的公比；
（3）若成等差數列，求數列的公差的取值範圍．
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