一知識要點
（一） 數列的極限
1.定義：對於無窮數列，若存在乙個常數a，無論預選指定多麼小的正數，都能在數列中找到一項an，使得當n>n時，|an-a|《恆成立，則稱常數a為數列的極限，記作.
2.運算法則：若、存在，則有
；3.兩種基本型別的極限：<1> s=
<2>設、分別是關於n的一元多項式，次數分別是p、q，最高次項係數分別為、且,則
4.無窮遞縮等比數列的所有項和公式： （|q|<1）
無窮數列的所有項和： （當存在時）
（二）數學歸納法
數學歸納法是證明與自然數n有關命題的一種常用方法，其證題步驟為：
①驗證命題對於第乙個自然數成立。
②假設命題對n=k(k≥)時成立,證明n=k+1時命題也成立.
則由①②,對於一切n≥的自然數,命題都成立。
二、例題（數學的極限）
例1.（1
2）．數列和都是公差不為0的等差數列，且=3,則=
（3.） (a>1
（4（5
（6）．等比數列的公比為q=─1/3,則
例2．將無限迴圈小數；1.32化為分數.
例3．已知,求實數a,b的值;
例4．數列,滿足(2an+bn)=1, (an─2bn)=1,試判斷數列,的極限是否存在，說明理由並求(anbn)的值.
例5．設首項為a，公差為d的等差數列前n項的和為an ,又首項為a,公比為r的等比數列前n項和為gn ,其中a≠0,|r|<1.令sn=g1+g2+…+gn,若有=a,求r的值.
例6．設首項為1，公比為q(q>0)的等比數列的前n項之和為sn,又設tn=,求.
例7．的相鄰兩項an,an+1是方程x2─cnx+=0的兩根，又a1=2,求無窮等比c1,c2,…cn, …的各項和.
例8．在半徑為r的圓內作內接正方形，在這個正方形內作內切圓，又在圓內作內接正方形，如此無限次地作下去，試分別求所有圓的面積總和與所有正方形的面積總和。
例9．如圖，b1，b2，…，bn,…順次為曲線y=1/x(x>0)上的點，a1，a2，…，an…順次為ox軸上的點，且三角形ob1a1，三角形a1b2a2，三角形an─1bnan為等腰三角形（其中 bn為直角),如果an的座標為(xn,0).
(1)求出an的橫座標的表示式;
(2)求.
二．例題（數學歸納法）
例1．用數學歸納法證明2n>n2 (n∈n,n5),則第一步應驗證n
例2．用數學歸納法證明,第一步驗證不等式成立；
例3.是否存在常數a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對一切自然數n成立？並證明你的結論.(89年)
例4.已知數列=,記sn=a1+a2+a3+…+an,用數學歸納法證明sn=(n+1)an-n.
例5．證明： > (n∈n,n2)
例6．證明：xn─nan─1x+(n─1)an能被(x─a)2整除(a≠0).
例7.在1與2之間插入個正數，使這個數成等比數列；又在1與2之間插入個正數使這個數成等差數列．記．
（ⅰ）求數列和的通項；（ⅱ）當時，比較與的大小，並證明你的結論．
例8．若數列滿足對任意的n有：sn=,試問該數列是怎樣的數列？並證明你的結論.
例9．已知數列是等差數列，。
（ⅰ）求數列的通項；（ⅱ）設數列的通項（其中，且），記是數列的前n項和。試比較與的大小，並證明你的結論。
練習（數列的極限）
1. 已知是等比數列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,sn＝a1＋a2＋……＋an,那麼的值等於( )(89年)
(a)8 (b)16 (c)32 (d)48
2. 的值等於( )(91年)
(a)0 (b)1 (c)2 (d)3
3.在等比數列中,a1＞1,且前n項和sn滿足,那麼a1的取值範圍是( )(98年)
(a)(1,＋∞) (b)(1,4) (c)(1,2) (d)(1,)
7.)等於
(a)0bcd)5
8．等於：（a）16 （b）8 （c）4 （d）2
9． 已知各項均為正數的等比數列的首項a1=1,公比為q,前n項和為sn, =1,則公比q的取值範圍是：
（a）.q≥1 （b）.01
10.的值為
(a)0b)1c)2d)不存在
11.已知是公差不為0的等差數列，sn是的前n項和，那麼等於___.
12.已知等差數列的公差d＞0，首項a1＞0，s＝______.(93年)
13.如果存在，且，則＝________
2023年)
2023年)
16.已知等比數列的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，則＝___.
17．求a>0);
18．數列, , ,…的前n項和及各項和s
1920.已知數列a1,a2,……an,……的前項和sn與an的關係是sn＝－ban＋1－,其中b是與n無關的常數,且b≠－1；
ⅰ.求an和an＋1的關係式;
ⅱ.寫出用n和b表示an的表示式;
ⅲ.當0＜b＜1時,求極限sn.(87年)
21．在邊長為a的正方形abcd中內依次作內接正方形aibicidi(i=1,2,3,…),使內接
正方形與相鄰前乙個正方形的一邊夾角為,求所有正方形的面積之和.
22．已知直線l：x─ny=0(n∈n),圓m：(x+1)2+(y+1)2=1,拋物線φ:y=(x─1)2,又l與m
交於點a、b，l與φ交於點c、d，求.
23.設a (n＝1,2,3……),b (n＝1,2,3……),
用極限定義證明.(85年)
練習（數學歸納法）
1．由歸納原理分別探求：
(1)凸n邊形的內角和f(n
(2)凸n邊形的對角線條數f(n
(3)平面內n個圓，其中每兩個圓都相交於兩點，且任意三個圓不相交於同一點，則該n個圓分平面區域數f(n
2．平面上有n條直線，且任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f(n) 個區域，則f(n+1)=f(n
3．當n為正奇數時，求證xn+yn被x+y整除，當第二步假設n=2k─1時命題為真，進而需驗證n命題為真。
4．用數學歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n123…(2n─1)(n∈n),從「k到k+1」左端應增乘的代數式為
5.用數學歸納法證明：an+1+(a+1)2n -1可以被a2+a+1整除(n∈n).
6．若ai>0(i=1,2,3,…,n),且a1+a2+…+an=1,
證明：a12+a22+…+an2. (n2,n∈n)
7．已知an=(1+lgx)n,bn=1+nlgx+lg2x,其中n∈n,n3, ,試比較an與bn的大小.
8．數列中，.
9.試證：不論正數a,b,c是等差數列還是等比數列，當n>1,n∈n且a,b,c互不相等時，
都有an+cn>2bn.(n∈n).
10.已知數列的前n項和為sn,且a1=1,sn=n2an (n∈n),
(1) 試求出s1,s2,s3,s4,並猜想sn的表示式；
(2) 證明你的猜想，並求出an的表示式。
11．已知滿足：(n─1)an+1=(n+1)(an─1),a2=6,bn=n+an(nn).(1)求出bn的通項公式，
(2)是否存在非零常數p、q使數列{}成等差數列？若存在，試求出q、q的關係，若不存在，說明理由.
數列求和方法及數學歸納法
數列求和 一 常用公式法 直接利用公式求和是數列求和的最基本的方法 常用的數列求和公式有 等差數列求和公式 等比數列求和公式 二 錯位相減法 可以求形如的數列的和，其中為等差數列，為等比數列.例1 求和 設 其中為等差數列，為等比數列，公比為 利用錯位相減法求和.解 兩端同乘以 得 兩式相減得 於是...
數學歸納法
數學歸納法製作人 徐凱 精講部分 年級 高三科目 數學型別 同步 難易程度 中建議用時 20 25min 一.知識點 1 數學歸納法的定義 一般地，證明乙個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立 這種證明方法叫做數學歸納法 2 數學...
數學歸納法
最小數原理 已知，則，使得。證明若是有限集，且，那麼中元素可以按小到大的順序排列，取為其中最小的那個元素，則，使得。若為無限集，且，那麼是可列的，因而中元素可以按小到大的順序列出，取為其中最小的那個元素，則，使得。綜上所述，若，則，使得。定理 設a是乙個非空集合，對，命題p n 成立 假如，命題p ...