（4）對第二步不知道如何使用（甚至不使用）歸納假設，不能自覺尋找p(k＋1)與p(k)的關係。
四、教法與學習方法
（1）教學中設計了從具體到抽象，從特殊到一般，暴露知識形成的完整過程，合理的應用舉例、對比、概括、總結，並輔以現代化的教學手段提高效率與直觀性。
（2）讓學生在認知過程中，著重掌握元認知過程。
（3）運用對比，糾錯的方法，使學生加深對知識的理解認識。
五、教學環節及設計意圖
（一）設定情景激發興趣
先請同學們**一則古代笑話「萬百千識字」的故事思考問題1。
設計意圖：
（1）使深奧、枯燥、抽象的數學課變得生動有趣，充滿活力。從而培養起學生的學習興趣，激發學生學習熱情。
（2）通過比較引出「不完全歸納法」與「完全歸納法」的概念。
問題1：今天有乙個晚會，某人知道晚會的第乙個節目是唱歌，第二個節目是唱歌，第三個節目是唱歌，第四個節目也是唱歌，那麼他能斷定整個晚會是唱歌嗎？什麼時候可以斷定呢？
「僅考察部分特例而得出的一般結論的推理方法叫「不完全歸納法」，它不可靠，所得結論不一定正確。只有對事物的所有情況加以考察以後，歸納所得的結論才是正確的，它稱為「完全歸納法」。
（二）引導探索尋找方案引入數學歸納法
提出問題：給出「不完全歸納法」與「完全歸納法」的概念後，指出不完全歸納法有的是正確的，有的是不正確的，我們需要逐一進行驗證。當需要驗證的物件有無限多個時，我們怎麼辦呢？
並在黑板舉出：
例如：等差數列的首項為，公差為d那麼對一切正自然數有，如何論證此結論呢？
設計意圖：前面等差數列的通項公式已經給出了，現在又重新提出來，勢必引起學生的思考：為什麼需要論證，如何論證呢？從而引入這節課重點要解決的問題。
為了引導學生尋求解決問題的方法，先請同學看下列兩個問題，看是否能從中找到啟發。
問題2：今天有乙個晚會，某人知道唱歌的節目後面是唱歌，那麼他能判斷整個晚會是唱歌嗎？
問題3：今天有乙個晚會，某人知道第乙個節目是唱歌，並知道如果乙個節目是唱歌那麼它後面的節目也是唱歌，那麼他能否判斷整個晚會的節目都是唱歌呢？
通過上面兩個問題的思考，請學生們用類似的思想設計乙個方法證明等差數列的通項公式，在老師的引導下，得到數學歸納法的初步輪廓。然後總結出數學歸納法的證明步驟。
設計意圖：（1）使抽象的原理寓於簡單的事例當中，通俗易懂。為深刻理解數學歸納法原理打好基礎。
2）使學生自悟道理自尋方法，培養學生的探索精神
3）突破難點1
數學歸納法證明與自然數有關的命題
p（n）的步驟是：（1）驗證n取初始值時，命題成立，即成立
（2）假設n=k時命題成立，在這個基礎上，推證n=k+1時命題也成立，即p(k)正確p(k+1)正確
給出數學歸納法的證明步驟後，請同學回答為什麼有這兩步成立就得出原命題成立？逐一和同學們一起分析在這兩步的基礎上為什麼成立，成立，成立，成立……
設計意圖：（1）著重學生的元認知過程，使有限的兩步在學生的腦海裡形成無限的遞推，從而理解數學歸納法的實質。
2）發展學生從有限到無限的思想，促進學生邏輯思維與抽象思維的提高。
3）突破難點2和難點3
數學歸納法證明與自然數有關的命題
p（n）的步驟是：（1）驗證n取初始值時，命題成立，即成立
（2）假設n=k時命題成立，在這個基礎上，推證n=k+1時命題也成立，即p(k)正確p(k+1)正確，從而有：正確正確正確……
（三）應用舉例率先垂範（在黑板上演示）
例1：對這個例題著重講解第二步如何利用p(k)成立推證p(k+1)成立。向學生分析清楚為什麼要利用歸納假設，如何利用歸納假設，為什麼非用歸納假設不可。在推證p（k＋1）成立時，著重兩種方法：
「拼湊法」與「分析法」
設計意圖：發揮教師示範性的作用，讓學生掌握數學歸納證明有關命題的步驟，並深刻理解重要環節。
突破難點4
接下來再舉出例2（糾錯題），設計成三個錯誤的地方。（1）沒證明初始值 （2）在推證p(k+1)成立時直接將歸納假設中的k換成k＋1就完了 （3）沒有用歸納假設
例2 小明用數學歸納法證明了幾個命題（n為正自然數），請同學看看他證得是否正確：
①： 證明：1）假設當n=k時成立，即有：;
那麼n=k+1時
左邊=所以n=k+1時也成立，故原命題成立。
②： 證明：1）當n=1時，左邊=1=右邊
2）假設當n=k時成立，即有;
那麼n=k+1時
左邊=所以n=k+1時也成立，故原命題成立。
③： 證明：1）當n=1時，左邊=1=右邊
2）假設當n=k時成立，即有;
那麼n=k=1時，
左邊=所以n=k+1時也成立，故原命題成立。
錯誤點：
（1）沒有第一步，第二步就成了空中樓閣，即使遞推關係成立也沒用。
（2）」k」是具體的第k項，是實指，而第k+1項是緊跟它後面的項，第二步就是要證明乙個事實：前面一項成立的基礎上可以推證出跟著它的一項成立。
（3）如果沒用到歸納假設，就沒有象多公尺若骨牌那樣的邏輯鏈結了，就不是教學歸納法了。
（四）反饋練習
接下來給出乙個練習題，請兩名同學上台演板。
設計意圖：講練結合，訓練學生實際操作能力，反饋學生的掌握情況。在實際中找出學生易出錯的問題析錯糾錯。
練習：用數學歸納法證明
（五）總結結論強化認識
最後進行小結
目的是使知識在學生腦海中系統化，條理化，有重點。
並培養學生概括總結的能力。
小結： （1）歸納法是一種推理方法，數學歸納法是一般證明方法，歸納法幫我提出猜想，而數學歸納法是幫我們證明猜想
（2）數學歸納法的核心就是在驗證正確的基礎上證明命題p(n)具有傳遞性，第一步是基礎是起點，第二步是遞推依據，因此二者缺一不可。
（3）「觀察猜想證明」是解決與自然數有關命題的有郊途徑。
（六） 布置作業課外**
加強學生對數學歸納法實質的理解。培養學生的探索創新精神。鞏固提高運用數學歸納法的能力。
作業：1.課外**
請你設計證明方法
1）證明乙個命題對n=4，5，6，7……成立
2）證明乙個命題對n=2，4，6，8,……成立
3）證明乙個命題對所有的整數都成立
2.課本第67頁1，2題
數學歸納法
數學歸納法製作人 徐凱 精講部分 年級 高三科目 數學型別 同步 難易程度 中建議用時 20 25min 一.知識點 1 數學歸納法的定義 一般地，證明乙個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立 這種證明方法叫做數學歸納法 2 數學...
數學歸納法
最小數原理 已知，則，使得。證明若是有限集，且，那麼中元素可以按小到大的順序排列，取為其中最小的那個元素，則，使得。若為無限集，且，那麼是可列的，因而中元素可以按小到大的順序列出，取為其中最小的那個元素，則，使得。綜上所述，若，則，使得。定理 設a是乙個非空集合，對，命題p n 成立 假如，命題p ...
數學歸納法 整理
數學歸納法 資料 學歸納法證明與遞迴定義法的合法性依據 如何避免乙個表面上的 惡性迴圈 即用歸納法定義自然數，然後由此出發來證明自然數上數學歸納法的可行性?算術理論的形式展開 乙個少年時代的疑問之終結 如何嚴格證明加法與乘法的結合律，交換律與分配律?定律 postulates 轉化為 定理 theo...