一基本概念
1.運用數學歸納法證明命題要分兩步,
第一步是歸納奠基(或遞推基礎),
第二步是歸納遞推(或歸納假設),
兩步缺一不可
二易錯點
1.歸納起點易錯
（1）n未必是從n=1開始
例用數學歸納法證明：凸n邊形的對角線條數為
點拔：本題的歸納起點n=3
（2） n=1時的表示式
例用數學歸納法證明，在驗證n=1時，左邊計算所得的式子是（ ）
a. 1 b. c. d.
點撥 n=1時，左邊的最高次數為1，即最後一項為，左邊是，故選b
2.沒有運用歸納假設的證明不是數學歸納法
例1 用數學歸納法證明：
錯證：（1）當n=1時，左=右=1，等式成立
（2）假設當n=k時等式成立，
則當n=k+1時，
綜合（1）（2），等式對所有正整數都成立
點撥：錯誤原因在於只有數學歸納法的形式，沒有數學歸納法的「實質」即在歸納遞推中，沒有運用歸納假設
3 從n=k到n=k+1增加項錯誤
例1 已知n是正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設n=k（且為偶數）時命題為真，，則還需證明（ ）
時命題成立b. n=k+2時命題成立
c. n=2k+2時命題成立 d. n=2（k+2）時命題成立
點撥：因n是正偶數，故只需證等式對所有偶數都成立，因k的下乙個偶數是k+2，故選
例2 用數學歸納法證明不等式的過程中，由k推導到k+1時，不等式左邊增加的式子是
點撥：求即可
當 n=k時， 左邊，
n=k+1時，左邊,
故左邊增加的式子是，即
三知識應用
用數學歸納法可以證明許多與自然數有關的數學命題，其中包括恒等式、不等式、數列通項公式、整除性問題、幾何問題等
1 用數學歸納法證明等式
例1 用數學歸納法證明等式：
證明：（1）當n=1時，左==右，等式成立
（2）假設當n=k時等式成立，即
則n=k+1時
當n=k+1時，等式也成立
綜合（1）（2），等式對所有正整數都成立
例2 用數學歸納法證明：
證明：（1）當n=1時，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立．
（2）假設n=k時，等式成立，即：
則當n=k+1時．
當n=k+1時，等式也成立
綜合（1）（2），等式對所有正整數都成立
2 用數學歸納法證明不等式
例1 用數學歸納法證明不等式
證明：（1）當n=1時，左邊=，右邊=2，不等式成立
（2）假設當n=k時不等式成立，
即則當n=k+1時
當n=k+1時， 不等式也成立
綜合（1）（2），不等式對所有正整數都成立
注意（1）數學歸納法證明命題，格式嚴謹，必須嚴格按步驟進行；
（2）歸納遞推是證明的難點，應看準「目標」進行變形；
（3）由k推導到k+1時，有時可以「套」用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現出數學歸納法「靈活」的一面
例2．證明不等式(n∈n)．
證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=2．
左邊《右邊，不等式成立．
（2）假設n=k時，不等式成立，
即．則當n=k+1時，
當n=k+1時， 不等式也成立
綜合（1）（2），不等式對所有正整數都成立
3 用數學歸納法證明整除問題
例1 求證：能被6 整除.
證明：（1）當時，13+5×1=6能被6整除，命題正確；
（2）假設時命題正確，即能被6整除，
則當時，
，∵兩個連續的整數的乘積是偶數，能被6整除，
能被6整除，即當時命題也正確，
當n=k+1時， 命題也成立
綜合（1）（2），命題對所有正整數都成立
例2 證明：能被整除
證明：（1）當n=1時，，能被整除；
（2）假設n=k時命題成立，即能被整除
可設（其中為次多項式）
則當n=k+1時，
能被整除
當n=k+1時， 命題也成立
綜合（1）（2），命題對所有正整數都成立
4 用「歸納——猜想——證明」解決數列問題
例1 在數列中，，
（1）寫出；（2）求數列的通項公式
解：（1），，
猜想下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，由上面的探求可知猜想成立
（2）假設n=k時猜想成立，即
則n=k+1時
當n=k+1時， 猜想也成立
綜合（1）（2），猜想對所有正整數都成立
例2 在數列中，，其中，求數列的通項公式
解：，，.
由此可猜想出數列的通項公式為.
以下用數學歸納法證明：
(1) 當n=1時，,等式成立.
(2)假設當n=k時等式成立，
即.則當n=k+1時，
當n=k+1時， 猜想也成立
綜合（1）（2），數列的通項公式
5用「歸納——猜想——證明」解決幾何問題
例1．n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓弧？
分析：設這些半圓最多互相分成f (n)段圓弧，採用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證．
當n=2時，由圖(1)．兩個半圓交於一點，則分成4段圓弧，故f (2)=4=22．
當n=3時，由圖(2)．三個半徑交於三點，則分成9段圓弧，故f (3)=9=32．
由n=4時，由圖(3)．三個半圓交於6點，則分成16段圓弧，故f (4)=16=42．
由此猜想滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f (n)=n2．
用數學歸納法證明如下：
（1）當n=2時，上面已證．
（2）設n=k時，猜想成立，即f (k)=k2，
則當n=k+1時，第k+1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交於一點，所以第k+1個半圓把原k個半圓中的每乙個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓弧；另外原k個半圓把第k+1個半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓弧．
∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)
k2+2k+1=(k+1)2
∴ 滿足條件的k+1個半圓被所有的交點最多分成(k+1)2段圓弧．
當n=k+1時， 猜想也成立
綜合（1）（2）知滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓弧．
四練習鞏固
1.用數學歸納法證明：1(n2-1)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)= (n∈n*).
2.用數學歸納法證明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)= (n+1)·( n+2)·(n+3)(n∈n*).
3.當n>1，n∈n*時，求證：
4.用數學歸納法證明： (n∈n*)
5.用數學歸納法證明 49n+16n-1能被64整除(n∈n*)
6.用數學歸納法證明 mn+2+(m+1)2n+1能被m2+m+1整除(n∈n*)
7.在數列中，an>0,且sn=1/2(an+)
(1)求a1、a2、a3；
(2)猜測出an的關係式並用數學歸納法證明。
8.設數列的前n項和為sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為sn－1，n＝1,2,3，….
(1)求a1，a2；(2)猜想數列的通項公式，並給出嚴格的證明．
9.平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交於兩點，且每三個圓都不相交於同一點，求證：這n個圓把平面分成n2-n+2個部分。
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