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數學歸納法
(1)數學歸納法的基本形式
設p(n)是關於自然數n的命題，若
1°p(n0)成立(奠基)
2°假設p(k)成立(k≥n0)，可以推出p(k+1)成立(歸納)，則p(n)對一切大於等於n0的自然數n都成立
典型題例示範講解
例3是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2= (an2+bn+c)
解假設存在a、b、c使題設的等式成立，
這時令n=1,2,3,有
於是，對n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2=
記sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
設n=k時上式成立，即sk= (3k2+11k+10)
那麼sk+1=sk+(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= (3k2+5k+12k+24)
=［3(k+1)2+11(k+1)+10］
也就是說，等式對n=k+1也成立
綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數n均成立
學生鞏固練習
1 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數m,使得對任意n∈n,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( )
a 30b 26c 36d 6
2 用數學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈n*
3 已知數列是等差數列，b1=1,b1+b2+…+b10=145
(1)求數列的通項公式bn;
(2)設數列的通項an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)記sn是數列的前n項和，試比較sn與logabn+1的大小，並證明你的結論
4 設實數q滿足|q|＜1,數列滿足 a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表示式，又如果s2n＜3,求q的取值範圍
參***
1 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除
證明 n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1 －(2k+7)·3k
=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2 (k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大於36的數整除，∴所求最大的m值等於36
答案 c
2 證明 (1)當n=1時，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2 )
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴當n=k+1時也成立
由①②知，當n∈n*時，42n+1+3n+2能被13整除
3 (1)解設數列的公差為d,
由題意得,∴bn=3n－2
(2)證明由bn=3n－2知
sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
=loga［(1+1)(1+)…(1+)］
而logabn+1=loga,於是，比較sn與logabn+1 的大小
比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推測 (1+1)(1+)…(1+)＞(*)
①當n=1時，已驗證(*)式成立
②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
則當n=k+1時，
,即當n=k+1時，(*)式成立
由①②知，(*)式對任意正整數n都成立
於是，當a＞1時，sn＞logabn+1 ,
當 0＜a＜1時，sn＜logabn+1
4 解 ∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,
∴q≠0,a2=－,
∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1
兩式相除，得,即an+2=q·an
於是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想 a2n+1=－qn(n=1,2,3,…)
綜合①②，猜想通項公式為an=
下證 (1)當n=1,2時猜想成立
(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·qk－1則n=2k+1時，由於a2k+1=q·a2k－1
∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立
可推知n=2k+1也成立
設n=2k時，a2k=－qk,則n=2k+2時，由於a2k+2=q·a2k ,
所以a2k+2=－qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立
綜上所述，對一切自然數n,猜想都成立
這樣所求通項公式為an=
s2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)
=2(1+q+q2+…+qn-1 )－(q+q2+…+qn)
由於|q|＜1,∴=
依題意知＜3,
並注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜
ⅱ、示範性題組：
例1. 已知數列，…，，…。s為其前n項和，求s、s、s、s，推測s公式，並用數學歸納法證明。 （93年全國理）
【解】 計算得s＝，s＝，s＝，s＝，
猜測s＝ (n∈n)。
當n＝1時，等式顯然成立；
假設當n＝k時等式成立，即：s＝，
當n＝k＋1時，s＝s＋＝＋＝
＝＝,由此可知，當n＝k＋1時等式也成立。
綜上所述，等式對任何n∈n都成立。
【注】 把要證的等式s＝作為目標，先通分使分母含有(2k＋3)，再考慮要約分，而將分子變形，並注意約分後得到（2k＋3）－1。這樣證題過程中簡潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗、觀察出發，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數學歸納法進行嚴格證明，這是關於探索性問題的常見證法，在數列問題中經常見到。
假如猜想後不用數學歸納法證明，結論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴密。必須要進行三步：試值 → 猜想 → 證明。
【另解】 用裂項相消法求和：
由a＝＝－得，
s＝（11－
＝。此種解法與用試值猜想證明相比，過程十分簡單，但要求發現＝－的裂項公式。可以說，用試值猜想證明三步解題，具有一般性。
例2. 設a＝＋＋…＋ (n∈n),
證明： n(n＋1)【分析】與自然數n有關，考慮用數學歸納法證明。n＝1時容易證得，n＝k＋1時，因為a＝a＋,所以在假設n＝k成立得到的不等式中同時加上，再與目標比較而進行適當的放縮求解。
【解】 當n＝1時，a＝， n(n+1)＝， (n+1)＝2 ，
∴ n＝1時不等式成立。
假設當n＝k時不等式成立，即： k(k＋1)當n＝k＋1時， k(k＋1)＋k(k＋1)＋>k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)> (k＋1)(k＋2)，
(k＋1)＋＝(k＋1)＋< (k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，
所以(k＋1)(k＋2) 綜上所述，對所有的n∈n，不等式n(n＋1)【注】 用數學歸納法解決與自然數有關的不等式問題，注意適當選用放縮法。本題中分別將縮小成(k＋1)、將放大成(k＋)的兩步放縮是證n＝k＋1時不等式成立的關鍵。為什麼這樣放縮，而不放大成(k＋2)，這是與目標比較後的要求，也是遵循放縮要適當的原則。
本題另一種解題思路是直接採用放縮法進行證明。主要是抓住對的分析，注意與目標比較後，進行適當的放大和縮小。解法如下：
由》n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由ⅲ、鞏固性題組：
1. 用數學歸納法證明：6＋1 (n∈n)能被7整除。
2. 用數學歸納法證明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈n)。
3. n∈n，試比較2與(n＋1)的大小，並用證明你的結論。
4. 用數學歸納法證明等式：cos·cos·cos·…·cos＝ (81年全國高考)
5. 用數學歸納法證明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈n）。 （85年廣東高考）
6. 數列的通項公式a＝ (n∈n)，設f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，試求f(1)、f(2)、f(3)的值，推測出f(n)的值，並用數學歸納法加以證明。
7. 已知數列滿足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈n)。
①．求a和a； ②.猜測a，並用數學歸納法證明你的猜測。
8. 設f(logx)＝, ①.求f(x)的定義域； ②.
在y＝f(x)的影象上是否存在兩個不同點，使經過這兩點的直線與x軸平行？證明你的結論。 ③.
求證：f(n)>n (n>1且n∈n)
數學歸納法知識點大全 綜合
數學歸納法 1 第一數學歸納法 設是乙個與正整數有關的命題，如果 1 1 數學歸納法的基本形式 時，成立 假設成立，由此推得時，也成立，那麼，根據 對一切正整數時，成立 2 第二數學歸納法 設是乙個與正整數有關的命題，如果 當 時，成立 假設成立，由此推得時，也成立，那麼，根據 對一切正整數時，成立...
理科數學歸納法知識總結
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小公升初數學必考知識點精華總結歸納
整數和小數 1 最小的一位數是1，最小的自然數是0 2 小數的意義 把整數 1 平均分成10份 100份 1000份 這樣的乙份或幾份分別是十分之幾 百分之幾 千分之幾 可以用小數來表示。3 小數點左邊是整數部分，小數點右邊是小數部分，依次是十分位 百分位 千分位 4 整數和小數都是按照十進位制計數...