複數1．複數的概念：
（1）虛數單位i；
（2）複數的代數形式z=a+bi，(a, b∈r)；
（3）複數的實部、虛部、虛數與純虛數。
2．複數集
3．複數a+bi(a, b∈r)由兩部分組成，實數a與b分別稱為複數a+bi的實部與虛部，1與i分別是實數單位和虛數單位，當b=0時，a+bi就是實數，當b≠0時，a+bi是虛數，其中a=0且b≠0時稱為純虛數。
應特別注意，a=0僅是複數a+bi為純虛數的必要條件，若a=b=0，則a+bi=0是實數。
4．複數的四則運算
若兩個複數z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；
（2）減法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；
（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；
（4）除法：；
（5）四則運算的交換率、結合率；分配率都適合於複數的情況。
（6）特殊複數的運算：
① (n為整數)的週期性運算； ②(1±i)2 =±2i；
③ 若ω=-+i，則ω3=1，1+ω+ω2=0.
5．共軛複數與複數的模
（1）若z=a+bi，則，為實數，為純虛數(b≠0).
（2）複數z=a+bi的模|z|=, 且=a2+b2.
6.根據兩個複數相等的定義，設a, b, c, d∈r，兩個複數a+bi和c+di相等規定為a+bi=c+di. 由這個定義得到a+bi=0.
兩個複數不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。
4．複數a+bi的共軛複數是a－bi，若兩複數是共軛複數，則它們所表示的點關於實軸對稱。若b=0，則實數a與實數a共軛，表示點落在實軸上。
5．複數的加法、減法、乘法運算與實數的運算基本上沒有區別，最主要的是在運算中將i2=－1結合到實際運算過程中去。
如(a+bi)(a－bi)= a2+b2
6．複數的除法是複數乘法的逆運算將滿足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的複數x+yi叫做複數a+bi除以複數c+di的商。
由於兩個共軛複數的積是實數，因此複數的除法可以通過將分母實化得到，即.
7．複數a+bi的模的幾何意義是指表示複數a+bi的點到原點的距離。
（二）典型例題講解
1．複數的概念
例1．實數m取什麼數值時，複數z=m+1+(m－1)i是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？（4）對應的點z在第三象限？
解：複數z=m+1+(m－1)i中，因為m∈r，所以m+1，m－1都是實數，它們分別是z的實部和虛部，
∴ （1）m=1時，z是實數； （2）m≠1時，z是虛數；
（3）當時，即m=－1時，z是純虛數；
（4）當時，即m<－1時，z對應的點z在第三象限。
例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈r，求x, y.
解：根據複數相等的意義，得方程組，得x=, y=4.
例4．當m為何實數時，複數z＝+(m2+3m－10)i；（1）是實數；（2）是虛數；（3）是純虛數．
解：此題主要考查複數的有關概念及方程（組）的解法．
（1）z為實數，則虛部m2+3m－10=0，即，
解得m=2，∴ m=2時，z為實數。
（2）z為虛數，則虛部m2+3m－10≠0，即，
解得m≠2且m≠±5. 當m≠2且m≠±5時，z為虛數．，
解得m=－, ∴當m=－時，z為純虛數．
詮釋：本題應抓住複數分別為實數、虛數、純虛數時相應必須具備的條件，還應特別注意分母不為零這一要求．
例5．計算：i＋i2＋i3+……+i2005.
解：此題主要考查in的週期性．
i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005
=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i
＝0＋0＋……＋0+i＝i.
或者可利用等比數列的求和公式來求解（略） 詮釋：本題應抓住in的週期及合理分組．
例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的實數m
解：此題主要考查複數能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．
∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虛數不能比較大小，
∴，解得，∴ m=3.
當m＝3時，原不等式成立．
詮釋：本題應抓住複數能比較大小時必須都為實數這一條件。
例9．已知z=x＋yi(x，y∈r)，且 ，求z．
解：本題主要考查複數相等的充要條件及指數方程，對數方程的解法．
∵ ，∴，∴，
解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．
詮釋：本題應抓住複數相等的充要條件這一關鍵，正確、熟練地解方程（指數，對數方程）
例10．已知x為純虛數，y是實數，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，求x、y的值．
解：本題主要考查複數的有關概念，實數與i的運算，複數相等的充要條件，方程組的解法．
設x＝ti (t∈r，且t≠0），則2x－1＋i＝y－(3－y)i可化為
2ti－1＋i＝y－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i，
∴, ∴y=－1, t=－, ∴ x=－i.
2．複數的四則運算
例1．計算：
（1），n∈n+；
（2）若ω=－+i，ω3=1，計算；
（3）；
（4）s=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.
解：（1）=
（2）=
2.（3）由於, ,
∴ =8.
（4）s=1+2i+3i2+4i3+……+100i99
=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)
=(1+2i－3－4i)+(5+6i－7－8i)+……+(97+98i－99－100i)
=25(－2－2i)=－50－50i.
例2．已知複數z滿足|z－2|=2，z+∈r，求z.
解：設z=x+yi, x, y∈r，則
z+=z+，
∵ z+∈r，∴ =0， 又|z－2|=2, ∴ (x－2)2+y2=4,
聯立解得，當y=0時, x=4或x=0 (捨去x=0, 因此時z=0)，
當y≠0時, , z=1±,
∴ 綜上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1－i.
例3．設z為虛數，求證：z+為實數的充要條件是|z|=1.
證明：設z=a+bi (a, b∈r，b≠0)，於是
z+=(a+bi)+,
所以b≠0, (z+)∈rb－=0a2+b2=1|z|=1.
例4．複數z滿足(z+1)(+1)=||2，且為純虛數，求z.
解：設z=x+yi (x, y∈r)，則
(z+1)(+1)=||2+z++1=||2，∴ z++1=0，z+=－1，x=－.
==為純虛數，
∴ x2+y2－1=0, y=±, ∴ z=－+i或z=－－i.
例5．複數z滿足(1+2i)z+(3－10i)=4－34i，求z.
解：設z=x+yi (x, y∈r)，則(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x－yi) =4－34i，
整理得(4x－12y)－(8x+2y)i=4－34i.
∴ , 解得, ∴ z=4+i.
例6．設z是虛數，ω=z+是實數，且－1<ω<2，
（1）求|z|的值及z的實部的取值範圍；（2）設u=，求證u為純虛數；
（3）求ω－u2的最小值。
解：（1）設z=a+bi (a, b∈r, b≠0)，則
ω=，由於ω是實數且b≠0，∴ a2+b2=1，
即|z|=1，由ω=2a, －1<ω<2, ∴ z的實部a的的取值範圍是(－, 1).
（2）u==，由於a∈(－, 1), b≠0，
∴ u是純虛數。
（3）ω－u2=2a+
由於a∈(－, 1)，∴ a+1>0，則ω－u2≥2×2－3=1，
當a+1=, 即a=0時，上式取等號，所以ω－u2的最小值為1.
例7．證明：＝1．
解：此題考查複數的運算、模的定義，共軛複數的性質等．
設z＝a＋bi，(a, b∈r)，則
=.解2：∵ ，∴ =.
廣東陶粒,廣東陶粒廠123
高考複數知識點精華總結
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高考數學知識點總結精華
一 啊啊集合 1.基本概念 集合 元素 有限集 無限集 空集 全集 符號的使用.2.集合的表示法 列舉法 描述法 圖形表示法.集合元素的特徵 確定性 互異性 無序性.集合的性質 任何乙個集合是它本身的子集，記為 空集是任何集合的子集，記為 空集是任何非空集合的真子集 如果，同時，那麼a b.如果.注...