1.複數的單位為i，它的平方等於－1，即.
1 複數—形如a + bi的數（其中）；
2 實數—當b = 0時的複數a + bi，即a；
3 虛數—當時的複數a + bi；
4 純虛數—當a = 0且時的複數a + bi，即bi.
5 複數a + bi的實部與虛部—a叫做複數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）
6 複數集c—全體複數的集合，一般用字母c表示.
複數是實數的充要條件：
1 z=a+bi∈rb=0（a、b∈r）； ②z∈rz=； ③z∈r。
複數是純虛數的充要條件：
1 z=a+bi是純虛數a=0且b≠0（a、b∈r）； ②z是純虛數或0z+=0；
③z是純虛數z2＜0。
兩個複數相等的定義：
.兩個複數，如果不全是實數，就不能比較大小.
注：若為複數，則若，則.（×）[為複數，而不是實數]
若，則.（√）
若，則是的必要不充分條件.（當，
時，上式成立）
2、複數加、減、乘、除法的運算法則：
設，則；
；。加法的幾何意義：設，各與複數z1，z2對應，以，為邊的平行四邊形的對角線就與z1+z2對應。
減法的幾何意義：設，各與複數z1，z2對應，則圖中向量所對應的複數就是z2-z1。 ｜z1-z2｜的幾何意義是分別與z1，z2對應的兩點間的距離。
3.復平面內的兩點間距離公式：.其中是復平面內的兩點所對應的複數，間的距離. 由上可得：復平面內以為圓心，為半徑的圓的複數方程：.
曲線方程的複數形式：
①為圓心，r為半徑的圓的方程.
②表示線段的垂直平分線的方程.
③為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.
④表示以為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.
絕對值不等式：
設是不等於零的複數，則
①.左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.
②.左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.
注：.4. 共軛複數：兩個複數實部相等，虛部互為相反數。即z=a+bi，則=a-bi，（a、b∈r），實數的共軛複數是其本身
性質 、、，（a + bi
注：兩個共軛複數之差是純虛數. （×）[之差可能為零，此時兩個複數是相等的]
5. 複數的乘方： 對任何， 及有
③ 注：以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如若由就會得到的錯誤結論. 在實數集成立的. 當為虛數時，，所以複數集內解方程不能採用兩邊平方法.
常用的結論：
若是1的立方虛數根，即，
則6. 複數是實數及純虛數的充要條件：
. 若，是純虛數.
模相等且方向相同的向量，不管它的起點在**，都認為是相等的，而相等的向量表示同一複數. 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.
注：.7. 複數集中解一元二次方程：
在複數集內解關於的一元二次方程時，應注意下述問題：
當時，若＞0，則有二不等實數根；若=0，則有二相等實數根；若＜0，則有二相等複數根（為共軛複數）.
當不全為實數時，不能用方程根的情況.
不論為何複數，都可用求根公式求根，並且韋達定理也成立.
【典型例題】
例1、當m為何實數時，複數z＝+（m2+3m－10）i；
（1）是實數；（2）是虛數；（3）是純虛數．
解：此題主要考查複數的有關概念及方程（組）的解法．
（1）z為實數，則虛部m2+3m－10=0，即，
解得m=2，∴ m=2時，z為實數。
（2）z為虛數，則虛部m2+3m－10≠0，即，
解得m≠2且m≠±5. 當m≠2且m≠±5時，z為虛數．
（3），
解得m=－, ∴當m=－時，z為純虛數．
詮釋：本題應抓住複數分別為實數、虛數、純虛數時必須具備的相應條件，還應特別注意分母不為零這一要求．
例2、（1） 使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的實數m
解：此題主要考查複數能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．
∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虛數不能比較大小，
∴當m＝3時，原不等式成立．
注：本題應抓住複數能比較大小時必須都為實數這一條件。
（2） 已知z=x＋yi（x，y∈r），且，求z．
解：本題主要考查複數相等的充要條件及指數方程，對數方程的解法．
∵，∴，∴，
解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．
注：本題應抓住複數相等的充要條件這一關鍵點，正確、熟練地解方程（指數，對數方程）。
例3、若複數z滿足z=（t∈r），求z的對應點z的軌跡方程．
解：此題主要考查複數的四則運算，點的軌跡方程的求法等．
設z＝x＋yi，（x, y∈r），∵ z==，
∴，消去引數 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．
∴ 所求z的軌跡方程為x2＋y2＝1（x≠－1）．
詮釋：解此題應抓住複數相等的充要條件，從而得到引數方程，消去引數，或者利用模的定義和性質，求出|z|即可．
【模擬試題】
一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
1、設條件甲：x=0，條件乙：x＋yi（x，y∈r）是純虛數，則（ ）
a、甲是乙的充分非必要條件 b、甲是乙的必要非充分條件
c、甲是乙的充分必要條件d、甲是乙的既不充分，又不必要條件
2、已知關於x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有實根，則實數m應取的值是（ ）
a、mb、mc、m= d、m=－
3、等於（ ）
a、0b、1c、－1d、i
4、設f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，則z等於（ ）
a、5＋3i b、5－3ic、－5＋3i d、－5－3i
5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一實根的條件是（ ）
a、－2≤k≤2b、k≤－2或k≥2
c、k=±2d、k≠2
6、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的乙個根，則實數m，n的值為（ ）
a、m＝4，n=－3b、m=－4，n＝13
c、m＝4，n=－21d、m=－4，n＝－5
二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
7、已知下列命題：
（1）在復平面中，x軸是實軸，y軸是虛軸；
（2）任何兩個複數不能比較大小；
（3）任何數的偶次冪都是非負數；
（4）若 t＋si=3－4i，則 t=3、s=－4．
其中真命題為
8、若複數z滿足z+||=－1＋2i，則z
9、設z∈c，|z|=1，則|z++i|的最大值為
三、解答題（本大題共4題，共50分）
10、設是純虛數，求複數z對應的點的軌跡方程．
11、已知複數z滿足|z|＝5，且（3+ 4i）z是純虛數，求z．
試題答案
1、b 2、c 3、a 4、b 5、c 6、b
7、（1）
8、－+2i
9、310、解：此題主要考查複數的有關概念及性質，四則運算和點的軌跡方程的求法．
∵是純虛數，∴，即,
∴，∴ 2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），
設z=x＋yi，（x，y∈r），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）
∴ （x＋）2＋y2＝（y≠0）即為複數z對應的點的軌跡方程．
詮釋：解此題應抓住虛數的定義和共軛複數的性質，利用運算法則進行求解。
11、解：此題主要考查複數的有關概念，複數的運算，模的定義及計算．
設 z＝x＋yi（x, y∈r）, ∵|z|＝5，
∴x2＋y2＝25, 又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是純虛數，
∴， 聯立三個關係式解得，
∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．
複數知識點
1.複數的單位為i，它的平方等於 1，即.1 複數 形如a bi的數 其中 2 實數 當b 0時的複數a bi，即a 3 虛數 當時的複數a bi 4 純虛數 當a 0且時的複數a bi，即bi.5 複數a bi的實部與虛部 a叫做複數的實部，b叫做虛部 注意a，b都是實數 6 複數集c 全體複數的...
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高考複數知識點學生複數
複數1 複數的概念 1 虛數單位i 2 複數的代數形式z a bi，a,b r 3 複數的實部 虛部 虛數與純虛數。2 複數集 3 複數a bi a,b r 由兩部分組成，實數a與b分別稱為複數a bi的實部與虛部，1與i分別是實數單位和虛數單位，當b 0時，a bi就是實數，當b 0時，a bi是...