數系的擴充與複數的引入知識點（一）
1．複數的概念：
（1）虛數單位i；
（2）複數的代數形式z=a+bi，(a, b∈r)；
（3）複數的實部、虛部、虛數與純虛數。
2．複數集
3．複數a+bi(a, b∈r)由兩部分組成，實數a與b分別稱為複數a+bi的實部與虛部，1與i分別是實數單位和虛數單位，當b=0時，a+bi就是實數，當b≠0時，a+bi是虛數，其中a=0且b≠0時稱為純虛數。
應特別注意，a=0僅是複數a+bi為純虛數的必要條件，若a=b=0，則a+bi=0是實數。
4．複數的四則運算
若兩個複數z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；
（2）減法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；
（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；
（4）除法：；
（5）四則運算的交換率、結合率；分配率都適合於複數的情況。
（6）特殊複數的運算：
① (n為整數)的週期性運算； ②(1±i)2 =±2i；
③ 若ω=-+i，則ω3=1，1+ω+ω2=0.
5．共軛複數與複數的模
（1）若z=a+bi，則，為實數，為純虛數(b≠0).
（2）複數z=a+bi的模|z|=, 且=a2+b2.
6.根據兩個複數相等的定義，設a, b, c, d∈r，兩個複數a+bi和c+di相等規定為a+bi=c+di. 由這個定義得到a+bi=0.
兩個複數不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。
7．複數a+bi的共軛複數是a－bi，若兩複數是共軛複數，則它們所表示的點關於實軸對稱。若b=0，則實數a與實數a共軛，表示點落在實軸上。
8．複數的加法、減法、乘法運算與實數的運算基本上沒有區別，最主要的是在運算中將i2=－1結合到實際運算過程中去。
如(a+bi)(a－bi)= a2+b2
9．複數的除法是複數乘法的逆運算將滿足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的複數x+yi叫做複數a+bi除以複數c+di的商。
由於兩個共軛複數的積是實數，因此複數的除法可以通過將分母實化得到，即.
10．複數a+bi的模的幾何意義是指表示複數a+bi的點到原點的距離。
（二）典型例題
例1．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的實數m
例2．證明：＝1．
數系的擴充與複數的引入(歷年高考經典題型)（二）
一、選擇題
1.設複數z滿足(1-i)z=2 i,則z= ( )
a.-1+i b.-1-i c.1+i d.1-i
2ab. c. d.
3．如圖，在復平面內，點表示複數，則圖中表示的共軛複數的點是（ ）
ab.cd.
4.已知i是虛數單位,則(-1+i)(2-i)= ( )
a.-3+ib.-1+3i c.-3+3i d.-1+i
5.（ ）
abc. d.
6.（ ）
abcd.
7.已知i是虛數單位,則(2+i)(3+i)= ( )
a.5-5i b.7-5i
c.5+5i d.7+5i
8.複數z滿足(z-3)(2-i)=5(i為虛數單位)，則z的共軛複數為
a.2+ib.2-i c. 5+i d.5-i
9.若複數滿足，則的虛部為（ ）
ab. cd.
10.複數，則（ ）
a.25 b. c.5 d.
11. 設z1, z2是複數, 則下列命題中的假命題是 ( )
a. 若, 則 b. 若, 則
c. 若則 d. 若則
12.設z是複數, 則下列命題中的假命題是 ( )
a. 若, 則z是實數 b. 若, 則z是虛數
c. 若z是虛數, 則 d. 若z是純虛數, 則
13.複數z=i·(1+i)(i為虛數單位)在復平面上對應的點位於（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
14.已知集合m=,i為虛數單位，n=｛3，4｝，m∩n=｛4｝，則複數z
a. -2i b. 2i c. -4i d.4i
15.複數z=i（-2-i）（i為虛數單位）在復平面內所對應的點在（ ）
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
16.設是虛數單位，是複數的共軛複數，若，則= （ ）
a. b. c. d.
17.設i是虛數單位，若複數是純虛數，則a的值為
a.-3b.-1c.1d.3
18.在復平面內,複數(2-i)2對應的點位於 ( )
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
19.在復平面內，複數i（2-i）對應的點位於( )
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
20.已知複數z的共軛複數(i為虛數單位),則z在復平面內對應的點位於 ( )
a.第一象限 b.第二象限
c.第三象限d.第四象限
21.複數的在復平面內對應的點位於（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
22.若複數z滿足iz=2+4i，則在復平面內，z對應的點的座標是（ ）
a. （2,4） b.（2,-4） c. (4,-2) d(4,2)
23.若，，則複數的模是（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
24.複數的模為（ ）
25.在復平面內，複數z=（i為虛數單位）的共軛複數對應的點位於（ ）
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
二、填空題
26.已知a,b∈r,i是虛數單位.若(a+i)(1+i)=bi,則a+bi= .
27.已知複數（是虛數單位），則
28.設m∈r,m2+m-2+( m2-1)i是純虛數，其中i是虛數單位，則m= .
29.為虛數單位，設複數，在復平面內對應的點關於原點對稱，若，則
30.設（為虛數單位），則複數的模為
高考複數知識點學生複數
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