三角函式
一、基礎知識
定義1 角，一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。角的大小是任意的。
定義2 角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圓心角的弧長為l，則其弧度數的絕對值|α|=,其中r是圓的半徑。
定義3 三角函式，在直角座標平面內，把角α的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取乙個不同於原點的點p，設它的座標為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函式sinα=,余弦函式cosα=,正切函式tanα=，餘切函式cotα=，
定理1 同角三角函式的基本關係式，
倒數關係：tanα=,商數關係：tanα=；
乘積關係：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方關係：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 誘導公式（ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα;
（ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα;
（ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα; （
ⅳ）sin=cosα, cos=sinα（奇變偶不變，符號看象限）。
定理3 正弦函式的性質，根據圖象可得y=sinx（x∈r）的性質如下。單調區間：在區間上為增函式，在區間上為減函式，最小正週期為2.
奇偶數. 有界性：當且僅當x=2kx+時，y取最大值1，當且僅當x=3k-時, y取最小值-1。
對稱性：直線x=k+均為其對稱軸，點（k, 0）均為其對稱中心，值域為[-1，1]。這裡k∈z.
定理4 余弦函式的性質，根據圖象可得y=cosx(x∈r)的性質。單調區間：在區間[2kπ, 2kπ+π]上單調遞減，在區間[2kπ-π, 2kπ]上單調遞增。
最小正週期為2π。奇偶性：偶函式。
對稱性：直線x=kπ均為其對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：
當且僅當x=2kπ時，y取最大值1；當且僅當x=2kπ-π時，y取最小值-1。值域為[-1，1]。這裡k∈z.
定理5 正切函式的性質：由圖象知奇函式y=tanx(xkπ+)在開區間(kπ-, kπ+)上為增函式, 最小正週期為π，值域為（-∞，+∞），點（kπ，0），（kπ+，0）均為其對稱中心。
定理6 兩角和與差的基本關係式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,
sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;
tan(αβ)=
定理7 和差化積與積化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,
sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos,
cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)],
cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)],
sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα,
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9 半形公式:sin=,cos=,
tan==
定理10 萬能公式:, ,
定理11 輔助角公式：如果a, b是實數且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經過點(a, b)的乙個角為β，則sinβ=,cosβ=，對任意的角α.
asinα+bcosα=sin(α+β).
定理12 正弦定理：在任意△abc中有，其中a, b, c分別是角a，b，c的對邊，r為△abc外接圓半徑。
定理13 餘弦定理：在任意△abc中有a2=b2+c2-2bcosa，其中a,b,c分別是角a，b，c的對邊。
定理14 圖象之間的關係：y=sinx的圖象經上下平移得y=sinx+k的圖象；經左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱座標不變，橫座標變為原來的，得到y=sin ()的圖象（週期變換）；橫座標不變，縱座標變為原來的a倍，得到y=asinx的圖象（振幅變換）；y=asin(x+)(>0)的圖象（週期變換）；橫座標不變，縱座標變為原來的a倍，得到y=asinx的圖象（振幅變換）；y=asin(x+)(, >0)(|a|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到y=asinx的圖象。
定義4 函式y=sinx的反函式叫反正弦函式，記作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函式y=cosx(x∈[0, π]) 的反函式叫反余弦函式，記作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函式y=tanx的反函式叫反正切函式。記作y=arctanx(xy=cosx(x∈[0, π])的反函式稱為反餘切函式，記作y=arccotx(x
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是。方程cosx=a的解集是. 如果a∈r，方程tanx=a的解集是。
恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
定理16 若，則sinx
二、方法與例題
1．結合圖象解題。
例1 求方程sinx=lg|x|的解的個數。
【解】在同一座標系內畫出函式y=sinx與y=lg|x|的圖象（見圖），由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。
1（浙江卷7）在同一平面直角座標系中，函式的圖象和直線的交點個數是
（a）0 （b）1c）2d）4
2．最小正週期的確定。
例2 求函式y=sin(2cos|x|)的最小正週期。
【解】 首先，t=2π是函式的週期（事實上，因為cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當且僅當x=kπ+時，y=0（因為|2cosx|≤2<π）,
所以若最小正週期為t0，則t0=mπ, m∈n+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以t0=2π。
1．（07江蘇卷）下列函式中，週期為的是
a． b． c． d．
2.（08江蘇）的最小正週期為，其中，則
3.（04全國）函式的最小正週期是（ ）.
4.（1）（04北京）函式的最小正週期是 .
（2）（04江蘇）函式的最小正週期為（ ）.
5.(09年廣東文)函式是
a．最小正週期為的奇函式 b. 最小正週期為的偶函式
c. 最小正週期為的奇函式 d. 最小正週期為的偶函式
6.（浙江卷2）函式的最小正週期是 .
3．三角最值問題。
例3 已知函式y=sinx+，求函式的最大值與最小值。
【解法一】 令sinx=,
則有y=
因為，所以，
所以≤1，
所以當，即x=2kπ- (k∈z)時，ymin=0，
當，即x=2kπ+ (k∈z)時，ymax=2.
【解法二】 因為y=sinx+,
=2（因為(a+b)2≤2(a2+b2)），
且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，
所以當=sinx，即x=2kπ+ (k∈z)時, ymax=2，
當=-sinx，即x=2kπ- (k∈z)時, ymin=0。
注：三角函式的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函式的單調性等是解三角最值的常用手段。
練習1.（09福建）函式最小值是
2.（09上海）函式的最小值是 .
3．將函式的影象向右平移了n個單位，所得影象關於y軸對稱，則n的最小正值是
a． b． c． d．
4.若動直線與函式和的影象分別交於兩點，則的最大值為（ ）
a．1 bcd．2
5.函式在區間上的最大值是
a.1bcd.1+
4．換元法的使用。
例4 求的值域。
【解】 設t=sinx+cosx=
因為所以
又因為t2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx=，所以，
所以因為t-1，所以，所以y-1.
所以函式值域為
5．圖象變換：y=sinx(x∈r)與y=asin(x+)(a, , >0).
由y=sinx的圖象向左平移個單位，然後保持橫座標不變，縱座標變為原來的a倍，然後再保持縱座標不變，橫座標變為原來的，得到y=asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫座標不變，縱座標變為原來的a倍，再保持縱座標不變，橫座標變為原來的，最後向左平移個單位，得到y=asin(x+)的圖象。
例5 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是r上的偶函式，其圖象關於點對稱，且在區間上是單調函式，求和的值。
【解】 由f(x)是偶函式，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意x∈r成立。
又0≤≤π，解得=，
因為f(x)圖象關於對稱，所以=0。
取x=0，得=0，所以sin
所以(k∈z)，即= (2k+1) (k∈z).
又》0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函式；
取k=1時， =2，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函式；
高考數學之三角函式知識點總結
三角函式 一 基礎知識 定義1 角，一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。角的大小是任意的。定義2 角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制 把等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度 2...
高考數學常考知識點之三角函式
三角函式 考試內容 數學探索版權所有角的概念的推廣 弧度制 數學探索版權所有任意角的三角函式 單位圓中的三角函式線 同角三角函式的基本關係式.正弦 余弦的誘導公式 數學探索版權所有兩角和與差的正弦 余弦 正切 二倍角的正弦 余弦 正切 數學探索版權所有正弦函式 余弦函式的影象和性質 週期函式 函式y...
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