雙曲線高考知識點及題型總結—(最新最全)
目錄雙曲線知識點 2
1 雙曲線定義： 2
2.雙曲線的標準方程： 2
3.雙曲線的標準方程判別方法是： 2
4.求雙曲線的標準方程 2
5.曲線的簡單幾何性質 2
6曲線的內外部 3
7曲線的方程與漸近線方程的關係 3
8雙曲線的切線方程 3
9線與橢圓相交的弦長公式 3
高考知識點解析 4
知識點一：雙曲線定義問題 4
知識點二：雙曲線標準方程問題 4
知識點三：雙曲線在實際中的應用 4
知識點四：雙曲線的簡單幾何性質的應用 4
知識點五：雙曲線的離心率 5
知識點六：直線與雙曲線 6
考題賞析 7-13
分塊講練 14-30
①到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等於定長（＜|f1f2|）的點的軌跡（（為常數））這兩個定點叫雙曲線的焦點．
要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a＜|f1f2|，這兩點與橢圓的定義有本質的不同.
當|mf1|－|mf2|=2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支；
當|mf1|－|mf2|=－2a時，曲線僅表示焦點f1所對應的一支；
當2a=|f1f2|時，軌跡是一直線上以f1、f2為端點向外的兩條射線；
當2a＞|f1f2|時，動點軌跡不存在.
②動點到一定點f的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數e(e＞1)時，這個動點的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線
2.雙曲線的標準方程：和（a＞0，b＞0）.這裡，其中||=2c.要注意這裡的a、b、c及它們之間的關係與橢圓中的異同.
3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的係數是正數，則焦點在x軸上；如果項的係數是正數，則焦點在y軸上.
對於雙曲線，a不一定大於b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條座標軸上.
4.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標準方程後，運用待定係數法求解.
－=1（a＞0，b＞0）
⑴範圍：|x|≥a，y∈r
⑵對稱性：關於x、y軸均對稱，關於原點中心對稱
⑶頂點：軸端點a1（－a，0），a2（a，0）
⑷漸近線：
①若雙曲線方程為漸近線方程
②若漸近線方程為雙曲線可設為
③若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）
④特別地當離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為；y=x，y=－x
⑸準線：l1：x=－，l2：x=，兩準線之距為
⑹焦半徑：，（點p在雙曲線的右支上）；
，（點p在雙曲線的右支上）；
當焦點在y軸上時，標準方程及相應性質（略）
⑺與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是
⑻與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是
(1)點在雙曲線的內部.
(2)點在雙曲線的外部.
(1）若雙曲線方程為漸近線方程： .
(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.
(1)雙曲線上一點處的切線方程是.
（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
（3）雙曲線與直線相切的條件是.
9線與橢圓相交的弦長公式
若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為ab， a、b兩點分別為a(x1，y1)、b(x2,y2)，則弦長
,這裡體現了解析幾何「設而不求」的解題思想；
題型一雙曲線定義的應用
已知定點a(0,7)，b(0，－7)，c(12,2)，以c為乙個焦點作過a，b的橢圓，求另一焦點的軌跡方程．
解設f(x，y)為軌跡上任意一點，
∵a、b兩點在以c，f為焦點的橢圓上
∴|fa|＋|ca|＝|fb|＋|cb|，
∴|fa|－|fb|＝|cb|－|ca|＝2
∴f的軌跡方程為：y2－＝1 (y≤－1)．
知識點二求雙曲線的標準方程
設雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點，且與橢圓相交，乙個交點a的縱座標為4，求此雙曲線的標準方程．
解方法一設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，由題意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又點a的縱座標為4，則橫座標為±，於是有
解得所以雙曲線的標準方程為－＝1.
方法二將點a的縱座標代入橢圓方程得a(±，4)，又兩焦點分別為f1(0,3)，f2(0，－3)．所以
2a＝|－
|＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
方法三若考慮到雙曲線與橢圓有相同的焦點，則可設雙曲線為＋＝1(27<λ<36)，再將點a(±，4)代入求λ，進而求方程，不過這種解題方法有一定的技巧性．
知識點三雙曲線在實際中的應用
a、b、c是我方三個炮兵陣地，a在b正東6 km，c在b的北偏西30°相距4 km，p為敵炮陣地，某時刻a處發現敵炮陣地的某種訊號，由於b、c兩地比a距p地遠，因此4 s後，b、c才同時發現這一訊號，此訊號的傳播速度為1 km/s，a若炮擊p地，求炮擊的方位角．
解以直線ba為x軸，線段ba的中垂線為y軸建立平面直角座標系，
則b(－3,0)，a(3,0)，c(－5,2)
∵|pb|＝|pc|，
∴點p**段bc的垂直平分線上
∵kbc＝－，bc中點d(－4，)
∴直線pd：y－＝(x＋4)①
又|pb|－|pa|＝4，
∴p在以a、b為焦點的雙曲線右支上
設p(x，y)則雙曲線方程為－＝1(x＞0)②
聯立①、②式得x＝8，y＝5，
∴p(8,5)，因此kpa＝＝.
故炮擊的方位角為北偏東30°.
知識點四雙曲線幾何性質的簡單應用
已知雙曲線漸近線的方程為2x±3y＝0.
(1)若雙曲線經過p(，2)，求雙曲線方程；
(2)若雙曲線的焦距是2，求雙曲線方程；
(3)若雙曲線頂點間的距離是6，求雙曲線方程．
解 (1)設雙曲線的方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
∵雙曲線過點p(，2)，
∴4×6－9×4＝λ，即λ＝－12
∴雙曲線的方程為：－＋y2＝1.
(2)設雙曲線方程為
－＝1，或－＝1(a>0，b>0)．
∵c2＝a2＋b2，∴13＝a2＋b2.
由漸近線斜率得＝，或＝，
故由或解得或
∴所求雙曲線方程為－＝1，或－＝1.
(3)由(2)所設方程可得：
或解得或
故所求雙曲線方程為－＝1，或－＝1.
知識點五求雙曲線的離心率
(1)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的離心率為________；
(2)設雙曲線－＝1(b>a>0)的半焦距為c，直線l過(a,0)、(0，b)兩點．已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為________．
解析 (1)當焦點在x軸上時，其漸近線方程為y＝±x，依題意，＝，e2＝＝＝1＋＝，
∴e＝；
當焦點在y軸上時，其漸近線方程為y＝±x，
依題意＝，e2＝＝＝1＋＝，
∴e＝.
(2)直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
於是有＝c，即ab＝c2.
兩邊平方得16a2b2＝3c4，∴16a2(c2－a2)＝3c4.
即3c4－16a2c2＋16a4＝0，∴3e4－16e2＋16＝0.
解得e2＝4，或e2＝，
∵b>a>0，∴>1，
∴e2＝＝1＋>2，故e2＝4，∴e＝2.
答案 (1)或 (2)2
知識點六直線與雙曲線
直線l在雙曲線－＝1上截得的弦長為4，其斜率為2，求直線l在y軸上的截距m.
解設直線l的方程為y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.
設直線l與雙曲線交於a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，
由韋達定理，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|ab|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[m2－4×(m2＋2)]．
∵|ab|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
∴直線l在y軸上的截距為±.
考題賞析
1．(全國ⅱ高考)設a>1，則雙曲線－＝1的離心率e的取值範圍是( )
a．(，2b．(，)
c．(2,5d．(2，)
解析 ∵雙曲線方程為－＝1，
∴c＝.
∴e＝＝＝.
又∵a>1，∴0<<1.∴1<＋1<2.
∴1<2<4.∴答案 b
2．(重慶高考)已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的一條漸近線為y＝kx (k>0)，離心率e＝k，則雙曲線方程為( )
雙曲線知識點及題型總結 學生版
到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等於定長 f1f2 的點的軌跡 為常數 這兩個定點叫雙曲線的焦點 要注意兩點 1 距離之差的絕對值.2 2a f1f2 這兩點與橢圓的定義有本質的不同.當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦點f1所對...
雙曲線知識點總結
1 第一定義 到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等於定長 f1f2 的點的軌跡叫雙曲線 定義表示式描述為 為正常數 這兩個定點叫雙曲線的焦點。要注意兩點 1 距離之差的絕對值。2 2a f1f2 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦...
雙曲線知識點總結
指導教師 鄭軍 一 雙曲線的定義 1.第一定義 到兩個定點f1與f2的距離之差的絕對值等於定長 f1f2 的點的軌跡 為常數 這兩個定點叫雙曲線的焦點 要注意兩點 1 距離之差的絕對值.2 2a f1f2 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支 當 mf1 mf2 2a時，曲線僅...