知識點一雙曲線定義的應用
已知定點a(0,7)，b(0，－7)，c(12,2)，以c為乙個焦點作過a，b的橢圓，求另一焦點的軌跡方程．
解設f(x，y)為軌跡上任意一點，
∵a、b兩點在以c，f為焦點的橢圓上
∴|fa|＋|ca|＝|fb|＋|cb|，
∴|fa|－|fb|＝|cb|－|ca|＝2
∴f的軌跡方程為：y2－＝1 (y≤－1)．
知識點二求雙曲線的標準方程
設雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點，且與橢圓相交，乙個交點a的縱座標為4，求此雙曲線的標準方程．
解方法一設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，由題意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又點a的縱座標為4，則橫座標為±，於是有
解得所以雙曲線的標準方程為－＝1.
方法二將點a的縱座標代入橢圓方程得a(±，4)，又兩焦點分別為f1(0,3)，f2(0，－3)．所以
2a＝|－
|＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
方法三若考慮到雙曲線與橢圓有相同的焦點，則可設雙曲線為＋＝1(27<λ<36)，再將點a(±，4)代入求λ，進而求方程，不過這種解題方法有一定的技巧性．
知識點三雙曲線在實際中的應用
a、b、c是我方三個炮兵陣地，a在b正東6 km，c在b的北偏西30°相距4 km，p為敵炮陣地，某時刻a處發現敵炮陣地的某種訊號，由於b、c兩地比a距p地遠，因此4 s後，b、c才同時發現這一訊號，此訊號的傳播速度為1 km/s，a若炮擊p地，求炮擊的方位角．
解以直線ba為x軸，線段ba的中垂線為y軸建立平面直角座標系，
則b(－3,0)，a(3,0)，c(－5,2)
∵|pb|＝|pc|，
∴點p**段bc的垂直平分線上
∵kbc＝－，bc中點d(－4，)
∴直線pd：y－＝(x＋4)①
又|pb|－|pa|＝4，
∴p在以a、b為焦點的雙曲線右支上
設p(x，y)則雙曲線方程為－＝1(x＞0)②
聯立①、②式得x＝8，y＝5，
∴p(8,5)，因此kpa＝＝.
故炮擊的方位角為北偏東30°.
知識點四雙曲線幾何性質的簡單應用
已知雙曲線漸近線的方程為2x±3y＝0.
(1)若雙曲線經過p(，2)，求雙曲線方程；
(2)若雙曲線的焦距是2，求雙曲線方程；
(3)若雙曲線頂點間的距離是6，求雙曲線方程．
解 (1)設雙曲線的方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
∵雙曲線過點p(，2)，
∴4×6－9×4＝λ，即λ＝－12
∴雙曲線的方程為：－＋y2＝1.
(2)設雙曲線方程為
－＝1，或－＝1(a>0，b>0)．
∵c2＝a2＋b2，∴13＝a2＋b2.
由漸近線斜率得＝，或＝，
故由或解得或
∴所求雙曲線方程為－＝1，或－＝1.
(3)由(2)所設方程可得：
或解得或
故所求雙曲線方程為－＝1，或－＝1.
知識點五求雙曲線的離心率
(1)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的離心率為________；
(2)設雙曲線－＝1(b>a>0)的半焦距為c，直線l過(a,0)、(0，b)兩點．已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為________．
解析 (1)當焦點在x軸上時，其漸近線方程為y＝±x，依題意，＝，e2＝＝＝1＋＝，
∴e＝；
當焦點在y軸上時，其漸近線方程為y＝±x，
依題意＝，e2＝＝＝1＋＝，
∴e＝.
(2)直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
於是有＝c，即ab＝c2.
兩邊平方得16a2b2＝3c4，∴16a2(c2－a2)＝3c4.
即3c4－16a2c2＋16a4＝0，∴3e4－16e2＋16＝0.
解得e2＝4，或e2＝，
∵b>a>0，∴>1，
∴e2＝＝1＋>2，故e2＝4，∴e＝2.
答案 (1)或 (2)2
知識點六直線與雙曲線
直線l在雙曲線－＝1上截得的弦長為4，其斜率為2，求直線l在y軸上的截距m.
解設直線l的方程為y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.
設直線l與雙曲線交於a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，
由韋達定理，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|ab|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[m2－4×(m2＋2)]．
∵|ab|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
∴直線l在y軸上的截距為±.
考題賞析
1．(全國ⅱ高考)設a>1，則雙曲線－＝1的離心率e的取值範圍是( )
a．(，2b．(，)
c．(2,5d．(2，)
解析 ∵雙曲線方程為－＝1，
∴c＝.
∴e＝＝＝.
又∵a>1，∴0<<1.∴1<＋1<2.
∴1<2<4.∴答案 b
2．(重慶高考)已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的一條漸近線為y＝kx (k>0)，離心率e＝k，則雙曲線方程為( )
a.－＝1b.－＝1
c.－＝1d.－＝1
解析雙曲線的漸近線方程可表示為y＝±x，由已知可得k＝.又離心率e＝＝k，所以k＝.
即＝，故a＝2b.
答案 c
3．(湖北高考)
如圖所示，在以點o圓心，|ab|=4為直徑的半圓adb中，od⊥ab，p是半圓弧上一點，∠pob=30°.曲線c是滿足||ma| |mb||為定值的動點m的軌跡，且曲線c過點p.
(1)建立適當的平面直角座標系，求曲線c的方程；
(2)設過點d的直線l與曲線c相交於不同的兩點e、f.若△oef的面積不小於2，求直線l斜率的取值範圍．
解 (1)方法一以o為原點
，ab、od所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角座標系，
則a(-2,0)，b(2,0)，p(,1)，
依題意得||ma|-|mb||
=|pa ||pb| = <|ab|=4.
∴曲線c是以原點為中心，a、b為焦點的雙曲線．
設實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，
則c=2,2a=2，∴a2=2，b2 = c2 a2=2.
∴曲線c的方程為.
方法二同方法一建立平面直角座標系，則依題意可得
||ma||mb||=|pa||pb|<|ab|=4.
∴曲線c是以原點為中心，a、b為焦點的雙曲線．
設雙曲線的方程為(a>0，b>0)，
則由 解得a2 = b2 = 2，
∴曲線c的方程為
(2)方法一依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線c的方程並整理得(1k2)x2-4kx6=0.①
∵直線l與雙曲線c相交於不同的兩點e、f，
∴∴k∈(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．②
設e(x1，y1)，f(x2，y2)，則由①式得
x1＋x2＝，x1x2＝－，
於是|ef|＝
＝＝·＝·.
而原點o到直線l的距離d＝，
∴s△oef＝d·|ef|
＝···＝.
若△oef的面積不小於2，即s△oef≥2，
則有≥2k4－k2－2≤0，
解得－≤k≤.③
綜合②、③知，直線l的斜率的取值範圍為
[－，－1)∪(－1,1)∪(1，]．
方法二依題意，可設直線l的方程為y＝kx＋2，
代入雙曲線c的方程並整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.①
∵直線l與雙曲線c相交於不同的兩點e、f，
∴∴k∈(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．②
設e(x1，y1)，f(x2，y2)，則由①式得
|x1－x2|＝＝
＝，③當e，f在同一支上時(如圖(1)所示)，
s△oef＝|s△odf－s△ode|＝|od|·(||x1|－|x2||)
＝|od|·|x1－x2|；
當e，f在不同支上時(如圖(2)所示)，
s△oef＝s△odf＋s△ode＝|od|·(|x1|＋|x2|)
＝|od|·|x1－x2|.
綜上得s△oef＝|od|·|x1－x2|.
於是由|od|＝2及③式，得s△oef＝.
若△oef面積不小於2，即s△oef≥2，則有
≥2k4－k2－2≤0，解得－≤k≤.④
綜合②、④知，直線l的斜率的取值範圍為
[－，－1)∪(－1,1)∪(1，]
.1．實軸長為4且過點a(2，－5)的雙曲線的標準方程是( )
a.－＝1b.－＝1
c.－＝1d.－＝1
答案 b
解析由題意知2a＝4，a2＝20，
若雙曲線焦點在x軸上，則可設方程為－＝1，
代入點a(2，－5)，得：－＝1，即＝，矛盾．
因此設雙曲線的方程為－＋＝1.代入a(2，－5)，得：＝－1＋＝，∴b2＝16.故選b.
2．如果雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為( )
ab．2cd．2
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