【考點8】橢圓、雙曲線、拋物線
2023年考題
1、（2009湖北高考）已知雙曲線（b＞0）的焦點，則b=( )
a.3 b. c. d.
選c.可得雙曲線的準線為,又因為橢圓焦點為所以有.即b2=3故b=.
2、（2009陝西高考）「」是「方程」表示焦點在y軸上的橢圓」的( )
（a）充分而不必要條件b）必要而不充分條件
（c）充要條件d) 既不充分也不必要條件
【解析】選c.將方程轉化為 , 根據橢圓的定義，要使焦點在y軸上必須
滿足且，故選c.
3、（2009湖南高考）拋物線的焦點座標是( )
a．（2，0） b．（- 2，0） c．（4，0d．（- 4，0）
【解析】選b.由,易知焦點座標是，故選b.
4、（2009全國ⅰ）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交於點，
若,則=( )
(ab) 2 (c) (d) 3
【解析】選a.過點b作於m,並設右準線與x軸的交點為n，易知fn=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.
5、（2009江西高考）設和為雙曲線()的兩個焦點, 若，是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為
abc． d．3
【解析】選b.由有,則,故選b.
6、（2009江西高考）過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓於點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為( )
abc． d． 2
【解析】選b.因為，再由有從而可得，故選b.
7、（2009浙江高考）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若，則雙曲線的離心率是 ( ) 21世紀教
abcd．
【解析】選c.對於，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為b，c，
，則有，
因．8、(2009山東高考)設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有乙個公共點，則雙曲線的離心率為
ab. 5 cd.
【解析】選d.雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,
得有唯一解,所以△=,
所以,,故選d.
9、(2009山東高考)設斜率為2的直線過拋物線的焦點f,且和軸交於點a,若△oaf(o為座標原點)的面積為4,則拋物線方程為
a. b. c. d.
【解析】選b.拋物線的焦點f座標為,則直線的方程為,
它與軸的交點為a,所以△oaf的面積為,解得.所以拋物
線方程為,故選b.
10、（2009安徽高考）下列曲線中離心率為的是( )
（a） （b） （c） （d）
【解析】選b.由得，選b.
11、（2009天津高考）設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
a b c d
【解析】選c.由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為.
12、（2009寧夏、海南高考）雙曲線-=1的焦點到漸近線的距離為( )
（a） （b）2cd）1
【解析】選a.雙曲線-=1的焦點(4,0)到漸近線的距離為,選a.
13、（2009寧夏、海南高考）設已知拋物線c的頂點在座標原點，焦點為f(1，0)，直線l與拋物線c相交於a，b兩點。若ab的中點為（2，2），則直線的方程為
【解析】拋物線的方程為，
答案：y=x
14、 (2009湖南高考)已知以雙曲線c的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有乙個內角
為60 ，則雙曲線c的離心率為
【解析】連虛軸乙個端點、乙個焦點及原點的三角形，由條件知，這個三角形的兩邊直角分別是是虛半軸長，是焦半距，且乙個內角是，即得，所以，所以，離心率
答案：15、（2009上海高考）已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則
【解析】依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
答案：3
16、（2009重慶高考）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值範圍為
【解析】方法1，因為在中，由正弦定理得
則由已知，得，即
設點由焦點半徑公式，得則記得由橢圓的幾何性質知，整理得
解得》，故橢圓的離心率
方法2 由解析1知由橢圓的定義知
，由橢圓的幾何性質知2ac-a2>0,所以以下同解析1.
答案：17、（ 2009四川高考）拋物線的焦點到準線的距離是
【解析】焦點（1，0），準線方程，∴焦點到準線的距離是2
答案：2
18、（2009北京高考）橢圓的焦點為，點p在橢圓上，若，則 ；的大小為 .
【解析】∵2，
∴，∴，
又，∴， （第19題解答圖）
又由餘弦定理，得，
∴，故應填.
答案：19、(2009廣東高考)已知橢圓g的中心在座標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓g上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.
(1)求橢圓g的方程
(2)求的面積
(3)問是否存在圓包圍橢圓g?請說明理由.
【解析】（1）設橢圓g的方程為： （）半焦距為c;
則 , 解得 ,
所求橢圓g的方程為：. 21世紀教育網
(2 )點的座標為(-k,2)
（3）若，由》0可知點（6，0）在圓外，
若，由》0可知點（-6，0）在圓外；
不論k為何值圓都不能包圍橢圓g.
20、（2009重慶高考）已知以原點為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，是橢圓上的動點．
（ⅰ）若的座標分別是，求的最大值；
（ⅱ）如圖，點的座標為，是圓上的點，是點在軸上的射影，點滿足條件：，．求線段的中點的軌跡方程；
21世紀教育網
【解析】（ⅰ）由題設條件知焦點在y軸上，故設橢圓方程為（a ＞b＞ 0 ）.
設，由準線方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，從而 b = 1，橢圓方程為 .
又易知c，d兩點是橢圓的焦點，所以,
從而，當且僅當，即點m的座標為時上式取等號，的最大值為4 . 21世紀教育網
（ii）如圖（20）圖，設
.因為，
故 ①
因為②記p點的座標為，因為p是bq的中點
所以又因為 ，結合①，②得
故動點p的軌跡方程為
21、（2009重慶高考）已知以原點為中心的雙曲線的一條準線方程為
，離心率．
（ⅰ）求該雙曲線的方程；
（ⅱ）如題（20）圖，點的座標為，是圓上的點，點在雙曲線右支上，求的最小值，並求此時點的座標； 21世紀教育網
【解析】（ⅰ）由題意可知，雙曲線的焦點在軸上，故可設雙曲線的方程為，設，由準線方程為得，由
得解得從而，該雙曲線的方程為；
（ⅱ）設點d的座標為，則點a、d為雙曲線的焦點，
所以 ，是圓上的點，其圓心為，半徑為1，故 -1 ,從而
當**段cd上時取等號，此時的最小值為
直線cd的方程為，因點m在雙曲線右支上，故
由方程組解得
所以點的座標為；
22、(2009山東高考)設橢圓e: （a,b>0）過m（2，） ，n(,1)兩點，o為座標原點，
（i）求橢圓e的方程；
（ii）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且？若存在，寫出該圓的方程，並求|ab |的取值範圍，若不存在說明理由。
【解析】（1）因為橢圓e: （a,b>0）過m（2，） ，n(,1)兩點,
所以解得所以橢圓e的方程為
（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且,設該圓的切線方程為解方程組得,
即, 21世紀教育網
則△=,即
,要使,需使,即,所以,
所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,,,
所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,
而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且.
因為,所以,
, ①當時
因為所以,
所以,所以,當且僅當時取「=」. 21世紀教育網
2 當時,.
3 當ab的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,
綜上, |ab |的取值範圍為即:
2023年考題
1、（2008全國ⅱ）設是等腰三角形，，則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為（ ）
a． b． c． d．
【解析】選b.由題意,所以，由雙曲線的定義，
有，∴.
2、（2008全國ⅱ）設，則雙曲線的離心率的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
【解析】選b.，因為是減函式，所以當時
，所以，即
3、（2008遼寧高考）已知雙曲線的乙個頂點到它的一條漸近線的距離為，則（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
【解析】選d.取頂點,一條漸近線
4、（2008遼寧高考）已知點是拋物線上的乙個動點,則點到點a的距離與到該拋物線準線的距離之和的最小值為( )
a. b. c. d.
【解析】選a.依題設在拋物線準線的投影為,拋物線的焦點為,則,依拋物線的定義知到該拋物線準線的距離為,則點到點的距離與到該拋物線準線的距離之和
.5、（2008江西高考）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
橢圓 雙曲線 拋物線的標準方程與幾何性質
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8 12橢圓 雙曲線 拋物線的統一定義
8.7 橢圓 雙曲線 拋物線的統一定義 1 橢圓 雙曲線 拋物線的統一定義是在平面上，若動點m與乙個定點f及m到一條定直線 定點m不在定直線上 距離之比等於常數f，當0 1時，點m的軌跡是橢圓 當 l時，點m的軌跡為雙曲線 當 1時，點m的軌跡為拋物線 2 橢圓上點m 的左焦點半徑，右焦點半徑，橢圓...
高中數學拋物線高考經典例題
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