[舉例2]已知函式的圖象是平面上到兩定點距離之差的絕對值等於定長的點的軌跡，則這個定長為 ．
解析：雙曲線的實軸所在的直線為y=x，實軸與雙曲線的交點即頂點為a1（1，1）和
a2（-1，-1），2a=|a1a2|=2,此即「定長」。注：我們可以再由等軸雙曲線的性質得：c=2,
進而得該雙曲線的焦點座標為
[鞏固1] 雙曲線的右準線與兩條漸近線交於a、b兩點，右焦點為f，且
=0，那麼雙曲線的離心率為
abc．2d．
[鞏固2] 過雙曲線2x2-y2=2的右焦點f的直線交雙曲線於a、b兩點，若|ab|=4，則這樣的直線有條。
[遷移]已知雙曲線的實軸a1a2，虛軸為b1b2，將座標系的右半平面沿y軸折起，使雙曲線的右焦點f2折至點f，若點f在平面a1 b1b2內的射影恰好是該雙曲線左頂點a1，則直線b1f與平面a1 b1b2所成角的正切值為
3.熟悉雙曲線的漸近線的幾何特徵（無限接近雙曲線但與雙曲線不相交）和代數特徵（漸近線方程是雙曲線標準方程中的「1」換為「0」）；平行於漸近線的直線與雙曲線有且僅有乙個交點，但不相切（體現在代數上：直線方程代入曲線方程得到的是一次方程）。
已知漸近線方程為：，則雙曲線方程為：，其中是待定的引數（漸近線不能唯一地確定雙曲線）。
雙曲線的焦點到漸近線的距離等於半虛軸長b。
[舉例1]雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為： a． b． c． d
解析：雙曲線的漸近線方程為：即y =±x，（≥0）
∴=，雙曲線方程為：，離心率為，選b。
[舉例2]已知雙曲線的右焦點為f，若過點f且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則此雙曲線離心率的取值範圍是
（a） （b） （c） （d）
解析：根據雙曲線的圖形特點知，雙曲線漸近線的傾角大於或等於600時，過焦點且傾斜角為600的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，於是有≥c2-a2≥3a2,得e≥2。
[鞏固1]與雙曲線有共同漸近線，且過的雙曲線的乙個焦點到一條漸近線的距離是a． b． c． d．
[鞏固2]曲線c：x2-y2=1,(x≤0) 上一點p（a,b）到它的一條斜率為正的漸近線的距離為它的離心率，則a+b的值是 ；曲線c的左焦點為f，m（x,y）(y≤0) 是曲線c上的動點，則直線mf的傾角的範圍是 .
[遷移]曲線c：與直線y=kx+1有兩個不同的公共點，則k的取值範圍是 。
4．研究雙曲線上的點到其焦點的距離問題時，往往用定義；關注定義中的「絕對值」，由此導致乙個點在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的。
[舉例1]已知向量雙曲線·=1上一點m到f(7,0)的距離為11，n是mf的中點，o為座標原點，則|on|=
abcd．或
解析：雙曲線方程為：，左支上的點到右焦點f(7,0)的距離的最小值為12，
∴m是雙曲線右支上的點，記左焦點為f/，則|mf/|-|mf|=2a，即|mf/|=21，在⊿mff/中，on中位線，∴|on|=，故選c。注：本題中，若將m到f(7,0)的距離換為13，將有兩種情況（m可能在雙曲線的右支上，也可能在左支上）。
[舉例2] 設雙曲線（a，b＞0）兩焦點
為f1、、f2，點q為雙曲線上除頂點外的任一點，過
焦點f2作∠f1qf2的平分線的垂線，垂足為m，則m
點軌跡是
a．橢圓的一部分b．雙曲線的一部分；
c．拋物線的一部分d．圓的一部分
解析：不妨設q在雙曲線的右支，延長f2m交qf1於p，
在⊿qf1f2中，qm既是角平分線又是高，故|qp|=|qf2|，
又|qf1|-|qf2|=2a，∴|qf1|-|qp|=2a即|pf1|=2a，在⊿pf1f2中，mo是中位線，∴|mo|=a,
∴m點軌跡是圓的一部分，選d。
[鞏固1]已知點p在雙曲線的左支上， 點m在其右準線上，f1是雙曲線的左焦點，且滿足：
， =，則此雙曲線的離心率為 。
[鞏固2]f1，f2分別為雙曲線（>0, >0）左右焦點，p為雙曲線左支上的任意一點，若最小值為8，則雙曲線的離心率e的取值範圍是
[遷移]p是雙曲線的右支上一點，m、n分別是圓(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的點，則|pm|-|pn|的最大值為
a．6b．7c．8d．9
5．研究雙曲線上一點與兩焦點組成的三角形（焦點三角形）問題時，在運用定義的同時還經常用到正、餘弦定理。
[舉例1] 雙曲線的兩焦點為f1、、f2，p在雙曲線上，且滿足|pf1|+|pf2|=2，則⊿p f1f2的面積為
a． b．1 c．2 d．4
解析：不妨設f1、、f2是雙曲線的左右焦點，p為右支上一點，|pf1|-|pf2|=2 ①
|pf1|+|pf2|=2 ②，由①②解得：|pf1|=+，|pf2|=-，得：
|pf1|2+|pf2|2=4+4=|f1f2|2，∴pf1⊥pf2，又由①②分別平方後作差得：|pf1||pf2|=2，選b。
[舉例2]等軸雙曲線x2-y2=a2,(a>0)上有一點p到中心的距離為3，那麼點p到雙曲線兩個焦點的距離之積等於 。
解析：由「平行四邊形對角線的平方和等於四條邊的平方和」得：
2（|pf1|2+|pf2|2）=36+4c2,又c2=2 a2，得|pf1|2+|pf2|2=18+4 a2 ①，而||pf1|-|pf2||=2 a ②
由 ①-②2得：|pf1||pf2|=9。
[鞏固1] 已知橢圓與雙曲線（>0, >0）具有相同的焦點f1，f2，設兩曲線的乙個交點為q，∠qf1f2=900，則雙曲線的離心率為 。
[鞏固2] 雙曲線兩焦點為f1，f2，點p在雙曲線上，直線pf1，pf2傾斜角之差為則△pf1f2面積為：a．16 b．32 c．32 d．42
[提高] 設雙曲線（a，b＞0）兩焦點為f1、、f2，點p為雙曲線右支上除頂點外的任一點，則⊿pf1f2的內心的橫座標為
a．a b．c c． d．與p點的位置有關
答案1、[鞏固1]（1，+），[鞏固2]a；2、[鞏固1]a，[鞏固2] 3，[遷移]；3、[鞏固1] c，
[鞏固2] -，（∪，[遷移] （-，-1）；4、[鞏固1]2，[鞏固2]（1，3]，[遷移]d；5、[鞏固1]，[鞏固2] a，[提高]記△pf1f2的內切圓圓心為c，邊pf1、pf2、f1f2上的切點分別為m、n、d，易見c、d橫座標相等，|pm|=|pn|，|f1m|=|f1d|，|f2n|=|f2d|，由|pf1|-|pf2|=2a，即：|pm|+|mf1|-(|pn|+|nf2|)=2a,得|mf1|-|nf2|=2a 即|f1d|-|f2d|=2a，記c的橫座標為x0,則d（x0,0）,於是：x0+c-（c- x0）=2a ,得x0=a，故選a。
高中數學知識要點重溫之 16 雙曲線及其性質
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