第二章圓錐曲線與方程
本章知識結構:
本章知識要點:
2.1 曲線與方程
一、曲線與方程
一般地,在直角座標系中,如果某曲線(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與乙個二元方程的實數解建立如下的關係:
(1)曲線上的點的座標都是方程的解;
(2)以方程的解為座標的點都是曲線上的點.
那麼,這個方程叫做曲線的方程;這個曲線叫做方程的曲線.
二、求曲線的方程
1.解析幾何:
用座標法研究幾何圖形的知識形成的學科叫做解析幾何.
解析幾何研究的主要問題是:
(1)根據已知條件,求出表示曲線的方程;
(2)通過曲線的方程,研究曲線的性質.
2.求曲線方程的步驟:
(1)建立適當的座標系,用有序實數對表示曲線上任意一點的座標;
(2)寫出適合條件的點的集合;
(3)用座標表示條件,列出方程;
(4)化方程為最簡形式;
(5)說明以化簡後的方程的解為座標的點都在曲線上.
簡言之:①建系、取點 ②列式 ③代換 ④化簡 ⑤證明.
2.2 橢圓
一、橢圓的定義:
平面內與兩個定點、的距離的和等於常數(其中)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
橢圓的定義可用集合語言表示為:.
注意:當時,表示線段;當時,軌跡不存在.
二、橢圓的標準方程與幾何性質:
注意:1.、、、的幾何意義:叫做長半軸長;叫做短半軸長;叫做半焦距;、、之間滿足.叫做橢圓的離心率,且,可以刻畫橢圓的扁平程度,越大,橢圓越扁,越小,橢圓越圓.
2.點是橢圓上任一點,是橢圓的乙個焦點,則,.
3.點是橢圓上任一點,當點在短軸端點位置時,取最大值.
4.橢圓的第二定義:當平面內點到乙個定點的距離和它到一條定直線:的距離的比是常數時,這個點的軌跡是橢圓,定點是橢圓的焦點,定直線叫做橢圓的準線,常數e是橢圓的離心率.
5.橢圓方程常用三角換元為.
三、點與橢圓位置關係
點與橢圓位置關係:
(1)點在橢圓內(含焦點)
(2)點在橢圓上
(3)點在橢圓外
四、直線與橢圓位置關係
(1)直線與橢圓的位置關係及判定方法
(2)弦長公式:
設直線交橢圓於
則,或.
2.3 雙曲線
一、雙曲線的定義
平面內與兩個定點、的距離的差的絕對值等於常數(其中)的點的軌跡叫做雙曲線. 這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
雙曲線的定義可用集合語言表示為:.
注意:當時,表示分別以、為端點的兩條射線;當時,軌跡不存在.
二、雙曲線的標準方程與幾何性質:
注意:1.、、、的幾何意義:叫做半實軸長;叫做半虛軸長;叫做半焦距;、、之間滿足.叫做橢圓的離心率,且.越大,雙曲線的張口就越大.
2.實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,其離心率.
3. 雙曲線的第二定義:當平面內點到乙個定點的距離和它到一條定直線:
的距離的比是常數時,這個點的軌跡是雙曲線,定點是雙曲線的焦點,定直線叫做雙曲線的準線,常數e是雙曲線的離心率.
4.直線與雙曲線位置關係同橢圓. 特別地,直線與雙曲線有乙個公共點,除相切外還有當直線與漸進線平行時,也是乙個公共點.
5.共漸近線的雙曲線可寫成;
共焦點的雙曲線可寫成.
2.4 拋物線
一、拋物線的定義:
平面內與乙個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點叫做拋物線的焦點,直線叫做拋物線的準線.
注意:當定點在定直線上時,點的軌跡為過點與直線垂直的直線.
二、拋物線的標準方程與簡單幾何性質:
注意: 1.的幾何意義:表示焦點到準線的距離.表示拋物線的通徑(過焦點且垂直於軸的弦).
2. 若點是拋物線上任意一點,則.
3.若過焦點的直線交拋物線於、兩點,則弦長.
212高中數學選修21知識總結圓錐曲線與方程
第二章圓錐曲線與方程 本章知識結構 本章知識要點 2.1 曲線與方程 一 曲線與方程 一般地,在直角座標系中,如果某曲線 看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡 上的點與乙個二元方程的實數解建立如下的關係 1 曲線上的點的座標都是方程的解 2 以方程的解為座標的點都是曲線上的點.那麼,這個方程叫做曲線...
高中數學選修21知識點總結
數學選修2 1 第一章 命題與邏輯結構 知識點 1 命題 用語言 符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句.真命題 判斷為真的語句.假命題 判斷為假的語句.2 若,則 形式的命題中的稱為命題的條件,稱為命題的結論.3 對於兩個命題,如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件,則這兩個命題稱為...
高中數學選修21知識點總結
1 命題 用語言 符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句.真命題 判斷為真的語句.假命題 判斷為假的語句.2 若,則 形式的命題中的稱為命題的條件,稱為命題的結論.3 對於兩個命題,如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件,則這兩個命題稱為互逆命題.其中乙個命題稱為原命題,另乙個稱為原命...