橢圓標準方程典型例題
例1 已知橢圓的乙個焦點為（0，2）求的值．
分析：把橢圓的方程化為標準方程，由，根據關係可求出的值．
解：方程變形為．因為焦點在軸上，所以，解得．
又，所以，適合．故．
例2 已知橢圓的中心在原點，且經過點，，求橢圓的標準方程．
分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況．根據題設條件，運用待定係數法，
求出引數和（或和）的值，即可求得橢圓的標準方程．
解：當焦點在軸上時，設其方程為．
由橢圓過點，知．又，代入得，，故橢圓的方程為．
當焦點在軸上時，設其方程為．
由橢圓過點，知．又，聯立解得，，故橢圓的方程為．
例3的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡．
分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解．
（2）由的軌跡方程、座標的關係，利用代入法求的軌跡方程．
解： （1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角座標系．設點座標為，由，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點．因，，有，
故其方程為．
（2）設，，則． ①
由題意有代入①，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）．
例4 已知點在以座標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的乙個焦點，求橢圓方程．
解：設兩焦點為、，且，．從橢圓定義知．即．
從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，，
可求出，，從而．
∴所求橢圓方程為或．
例5 已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，，．求：的面積（用、、表示）．
分析：求面積要結合餘弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積．
解：如圖，設，由橢圓的對稱性，不妨設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限．由餘弦定理知： ·．①
由橢圓定義知： ②，則得 ．
故．例6 已知動圓過定點，且在定圓的內部與其相內切，求動圓圓心的軌跡方程．
分析：關鍵是根據題意，列出點p滿足的關係式．
解：如圖所示，設動圓和定圓內切於點．動點到兩定點，
即定點和定圓圓心距離之和恰好等於定圓半徑，
即．∴點的軌跡是以，為兩焦點，
半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：．
說明：本題是先根據橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然後根據橢圓的標準方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．
例7 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；
（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；
（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；
（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，
求線段中點的軌跡方程．
分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端座標的方法．
解：設弦兩端點分別為，，線段的中點，則
（1）將，代入⑤，得，故所求直線方程為： ． ⑥
將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．
（2）將代入⑤得所求軌跡方程為橢圓內部分）
（3）將代入⑤得所求軌跡方程為： ．（橢圓內部分）
（4）由①＋②得將③④平方並整理得
將⑧⑨代入⑦得
再將代入⑩式得即 ．
此即為所求軌跡方程．當然，此題除了設弦端座標的方法，還可用其它方法解決．
例8 已知橢圓及直線．
（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？
（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．
解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，
即．，解得．
（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫座標為，，由（1）得，．
根據弦長公式得 ：．解得．方程為．
說明：處理有關直線與橢圓的位置關係問題及有關弦長問題，採用的方法與處理直線和圓的有所區別．
這裡解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式．
用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與係數的關係），可大大簡化運算過程．
例9 以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何處？並求出此時的橢圓方程．
分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決．
解：如圖所示，橢圓的焦點為，．
點關於直線的對稱點的座標為（－9，6），直線的方程為．
解方程組得交點的座標為（－5，4）．此時最小．
所求橢圓的長軸：，∴，又，
∴．因此，所求橢圓的方程為．
例10 已知方程表示橢圓，求的取值範圍．
解：由得，且．
∴滿足條件的的取值範圍是，且．
說明：本題易出現如下錯解：由得，故的取值範圍是．
出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，並不表示橢圓．
例11 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值範圍．
分析：依據已知條件確定的三角函式的大小關係．再根據三角函式的單調性，求出的取值範圍．
解：方程可化為．因為焦點在軸上，所以．
因此且從而．
說明：(1)由橢圓的標準方程知，，這是容易忽視的地方．
(2)由焦點在軸上，知，． (3)求的取值範圍時，應注意題目中的條件．
例12 求中心在原點，對稱軸為座標軸，且經過和兩點的橢圓方程．
分析：由題設條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標準方程有兩種情形，為了計算簡便起見，
可設其方程為(，)，且不必去考慮焦點在哪個座標軸上，直接可求出方程．
解：設所求橢圓方程為(，)．由和兩點在橢圓上可得
即所以，．故所求的橢圓方程為．
例13 知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段，求線段中點的軌跡．
分析：本題是已知一些軌跡，求動點軌跡問題．這種題目一般利用中間變數(相關點)求軌跡方程或軌跡．
解：設點的座標為，點的座標為，則，．
因為在圓上，所以．
將，代入方程得．所以點的軌跡是乙個橢圓．
說明：此題是利用相關點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設動點的座標為，
設已知軌跡上的點的座標為，然後根據題目要求，使，與，建立等式關係，
從而由這些等式關係求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關於，的方程，
化簡後即我們所求的方程．這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握．
例14 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓於，兩點，求弦的長．
分析：可以利用弦長公式求得，
也可以利用橢圓定義及餘弦定理，還可以利用焦點半徑來求．
解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解．
．因為，，所以．因為焦點在軸上，
所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為．
由直線方程與橢圓方程聯立得：．設，為方程兩根，所以，，， 從而．
(法2)利用橢圓的定義及餘弦定理求解．
由題意可知橢圓方程為，設，，則，．
在中，，即；
所以．同理在中，用餘弦定理得，所以．
(法3)利用焦半徑求解．
先根據直線與橢圓聯立的方程求出方程的兩根，，它們分別是，的橫座標．
再根據焦半徑，，從而求出．
例15 橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為座標原點）的值為a．4 b．2 c．8 d．
說明：(1)橢圓定義：平面內與兩定點的距離之和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓．
(2)橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關距離．
例16 已知橢圓，試確定的取值範圍，使得對於直線，橢圓上有不同的兩點關於該直線對稱．
分析：若設橢圓上，兩點關於直線對稱，則已知條件等價於：(1)直線；(2)弦的中點在上．
利用上述條件建立的不等式即可求得的取值範圍．
解：(法1)設橢圓上，兩點關於直線對稱，直線與交於點．
∵的斜率，∴設直線的方程為．由方程組消去得
①。∴．於是，，
即點的座標為．∵點在直線上，∴．解得． ②
將式②代入式①得 ③
∵，是橢圓上的兩點，∴．解得．
(法2)同解法1得出，∴，
，即點座標為．
∵，為橢圓上的兩點，∴點在橢圓的內部，∴．解得．
(法3)設，是橢圓上關於對稱的兩點，直線與的交點的座標為．
∵，在橢圓上，∴，．兩式相減得，
即．∴．
又∵直線，∴，∴，即 ①。
又點在直線上，∴ ②。由①，②得點的座標為．以下同解法2.
說明：涉及橢圓上兩點，關於直線恆對稱，求有關引數的取值範圍問題，可以採用列引數滿足的不等式：
(1)利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元後得到的一元二次方程的判別式，建立引數方程．
(2)利用弦的中點在橢圓內部，滿足，將，利用引數表示，建立引數不等式．
例17 在面積為1的中，，，建立適當的座標系，求出以、為焦點且過點的橢圓方程．
∴所求橢圓方程為
例18 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程．
分析：本題考查直線與橢圓的位置關係問題．通常將直線方程與橢圓方程聯立消去(或)，得到關於(或)的一元二次方程，再由根與係數的關係，直接求出， (或，)的值代入計算即得．
並不需要求出直線與橢圓的交點座標，這種「設而不求」的方法，在解析幾何中是經常採用的．
解：方法一：設所求直線方程為．代入橢圓方程，整理得
①設直線與橢圓的交點為，，則、是①的兩根，∴
∵為中點，∴，．∴所求直線方程為．
方法二：設直線與橢圓交點，．∵為中點，∴，．
又∵，在橢圓上，∴，兩式相減得，
即．∴．∴直線方程為．
方法三：設所求直線與橢圓的乙個交點為，另乙個交點．
∵、在橢圓上
從而，在方程①－②的圖形上，而過、的直線只有一條，∴直線方程為．
說明：直線與圓錐曲線的位置關係是重點考查的解析幾何問題，「設而不求」的方法是處理此類問題的有效方法．
若已知焦點是、的橢圓截直線所得弦中點的橫座標是4，則如何求橢圓方程？
高中數學經典例題集
第一部分 一道解析幾何題 本題15分 已知曲線c是到點和到直線 距離相等的點的軌跡，l是過點q 1，0 的直線，m是c上 不在l上 的動點 a b在l上，軸 如圖 求曲線c的方程 求出直線l的方程，使得為常數。解 設為上的點，由題設得 化簡，得曲線的方程為 解法一 設，直線，則 從而 在中，因為 所...
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高中數學橢圓及其標準方程說課稿
高中數學橢圓說課稿 一 教學背景分析 一 教材地位分析 橢圓及其標準方程 是繼學習圓以後運用 曲線與方程 思想解決二次曲線問題的又一例項，從知識上說，本節課是對座標法研究幾何問題的又一次實際運用，同時也是進一步研究橢圓幾何性質的基礎 從方法上說，它為進一步研究雙曲線 拋物線提供了基本模式和理論基礎，...