1拋物線的定義：平面內與乙個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點f叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線．
2拋物線的圖形和性質：
①頂點是焦點向準線所作垂線段中點。
②焦準距：
③通徑：過焦點垂直於軸的弦長為。
④頂點平分焦點到準線的垂線段：。
⑤焦半徑為半徑的圓：以p為圓心、fp為半徑的圓必與準線相切。所有這樣的圓過定點f、準線是公切線。
⑥焦半徑為直徑的圓：以焦半徑 fp為直徑的圓必與過頂點垂直於軸的直線相切。所有這樣的圓過定點f、過頂點垂直於軸的直線是公切線。
⑦焦點弦為直徑的圓：以焦點弦pq為直徑的圓必與準線相切。所有這樣的圓的公切線是準線。
3拋物線標準方程的四種形式：
4拋物線的影象和性質：
①焦點座標是：，
②準線方程是：。
③焦半徑公式：若點是拋物線上一點，則該點到拋物線的焦點的距離（稱為焦半徑）是：，
④焦點弦長公式：過焦點弦長
⑤拋物線上的動點可設為p或或p
5一般情況歸納：
拋物線的定義：
例1：點m與點f (－4，0)的距離比它到直線l：x－6=0的距離4.2，求點m的軌跡方程．
分析：點m到點f的距離與到直線x=4的距離恰好相等，符合拋物線定義．
答案：y2=－16x
例2：斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交於點a、b，求線段a、b的長．
分析：這是靈活運用拋物線定義的題目．基本思路是：把求弦長ab轉化為求a、b兩點到準線距離的和．
解：如圖8－3－1，y2=4x的焦點為f (1，0)，則l的方程為y=x－1．
由消去y得x2－6x+1=0．
設a (x1，y1)，b (x2，y2) 則x1+x2=6．
又a、b兩點到準線的距離為，，則
點評：拋物線的定義本身也是拋物線最本質的性質，在解題中起到至關重要的作用。
例3:(1) 已知拋物線的標準方程是y2=10x，求它的焦點座標和準線方程；
(2) 已知拋物線的焦點是f (0，3)求它的標準方程；
(3) 已知拋物線方程為y=－mx2 (m>0)求它的焦點座標和準線方程；
(4) 求經過p (－4，－2)點的拋物線的標準方程；
分析：這是為掌握拋物線四類標準方程而設計的基礎題，解題時首先分清屬哪類標準型，再錄求p值(注意p>0)．特別是(3)題，要先化為標準形式：，則．(4)題滿足條件的拋物線有向左和向下開口的兩條，因此有兩解．
答案：(1)，．(2) x2=12y (3)，；(4) y2=－x或x2=－8y．
例4 求滿足下列條件的拋物線的標準方程，並求對應拋物線的準線方程：
（1）過點（－3，2）；
（2）焦點在直線x－2y－4=0上
分析：從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定乙個待定係數p；從實際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個條件，否則，應展開相應的討論
解：（1）設所求的拋物線方程為y2=－2px或x2=2py（p＞0），
∵過點（－3，2），
∴4=－2p（－3）或9=2p·2
∴p=或p=
∴所求的拋物線方程為y2=－x或x2=y，前者的準線方程是x=，後者的準線方程是y=－
（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴拋物線的焦點為（4，0）或（0，－2）
當焦點為（4，0）時， =4，
∴p=8，此時拋物線方程y2=16x；
焦點為（0，－2）時， =2，
∴p=4，此時拋物線方程為x2=－8y
∴所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=－8y，
對應的準線方程分別是x=－4，y=2
常用結論
① 過拋物線y2＝2px的焦點f的弦ab長的最小值為2p
② 設a(x1，y)， 1b(x2，y2)是拋物線y2＝2px上的兩點， 則ab過f的充要條件是y1y2＝－p2
③ 設a， b是拋物線y2＝2px上的兩點，o為原點， 則oa⊥ob的充要條件是直線ab恆過定點(2p，0)
例5：過拋物線y2=2px (p>0)的頂點o作弦oa⊥ob，與拋物線分別交於a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點，求證：y1y2=－4p2．
分析：由oa⊥ob，得到oa、ob斜率之積等於－1，從而得到x1、x2，y1、y2之間的關係．又a、b是拋物線上的點，故(x1，y1)、(x2，y2)滿足拋物線方程．從這幾個關係式可以得到y1、y2的值．
證：由oa⊥ob，得，即y1y2=－x1x2，又，，所以：，即． 而y1y2≠0．所以y1y2=－4p2．
弦的問題
例1 a,b是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，滿足oaob(o為座標原點)求證：(1)a,b兩點的橫座標之積，縱座標之積為定值；
(2)直線ab經過乙個定點
(3)作omab於m，求點m的軌跡方程
解：(1)設a(x1,y1), b(x2,y2), 則y12=2px1, y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵oaob, ∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)
(2)直線ab的斜率k===,
∴直線ab的方程為y─y1= (x─),
即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y= (x─2p),
直線ab過定點c(2p,0)
(3)解法1:設m(x,y), 由(2)知y= (x─2p) (i),
又abom, 故兩直線的斜率之積為─1, 即·= ─1 (ii)
由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x0)
解法2: 由omab知點m的軌跡是以原點和點(2p,0)為直徑的圓(除去原點) 立即可求出
例2 定長為3的線段ab的兩個端點在拋物線y2=x上移動，ab的中點為m，求點m到y軸的最短距離，並求此時點m的座標
解：如圖，設a(x1,y1), b(x2,y2),m(x,y), 則x=, y=,
又設點a，b，m在準線:x=─1/4上的射影分別為a/,b/,m/, mm/與y軸的交點為n，
則|af|=|aa/|=x1+,|bf|=|bb/|=x2+,
∴x= (x1+x2)= (|af|+|bf|─) (|ab|─)=
等號在直線ab過焦點時成立，此時直線ab的方程為y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依題意|ab|=|x1─x2|=×==3,
∴k2=1/2, 此時x= (x1+x2)= =
∴y= ±即m(,), n(,─)
例3設一動直線過定點a(2, 0)且與拋物線相交於b、c兩點,點b、c在軸上的射影分別為, p是線段bc上的點,且適合,求的重心q的軌跡方程,並說明該軌跡是什麼圖形
解析: 設,
, 由得
①又代入①式得 ②
由得代入②式得:
由得或, 又由①式知關於是減函式且
, 且
所以q點軌跡為一線段(摳去一點):
(且)例4 已知拋物線,焦點為f,一直線與拋物線交於a、b兩點,且,且ab的垂直平分線恆過定點s(6, 0)
①求拋物線方程; ②求面積的最大值
解: ①設, ab中點
由得 又得
所以依題意,
拋物線方程為
②由及,
令得 又由和得:
例5 定長為3的線段ab的兩個端點在拋物線y2=x上移動，ab的中點為m，求點m到y軸的最短距離，並求此時點m的座標
解：如圖，設a(x1,y1), b(x2,y2),m(x,y), 則x=, y=,
又設點a，b，m在準線:x=─1/4上的射影分別為a/,b/,m/, mm/與y軸的交點為n，
則|af|=|aa/|=x1+,|bf|=|bb/|=x2+,
∴x= (x1+x2)= (|af|+|bf|─) (|ab|─)=
等號在直線ab過焦點時成立，此時直線ab的方程為y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依題意|ab|=|x1─x2|=×==3,
∴k2=1/2, 此時x= (x1+x2)= =
∴y= ±即m(,), n(,─)
綜合類(幾何)
例1 過拋物線焦點的一條直線與它交於兩點p、q，通過點p和拋物線頂點的直線交準線於點m，如何證明直線mq平行於拋物線的對稱軸？
解：思路一：求出m、q的縱座標並進行比較，如果相等，則mq//x軸，為此，將方程聯立，解出
直線op的方程為即
令，得m點縱座標得證．
由此可見，按這一思路去證，運算較為繁瑣．
思路二：利用命題「如果過拋物線的焦點的一條直線和這條拋物線相交，兩上交點的縱座標為、，那麼」來證．
設、、，並從及中消去x，得到，則有結論，即．
又直線op的方程為，，得．
因為在拋物線上，所以．
從而．這一證法運算較小．
思路三：直線mq的方程為的充要條件是．
將直線mo的方程和直線qf的方程聯立，它的解（x ,y）就是點p的座標，消去的充要條件是點p在拋物線上，得證．這一證法巧用了充要條件來進行逆向思維，運算量也較小．
說明：本題中過拋物線焦點的直線與x軸垂直時（即斜率不存在），容易證明成立．
例2 已知過拋物線的焦點且斜率為1的直線交拋物線於a、b兩點，點r是含拋物線頂點o的弧ab上一點，求△rab的最大面積．
分析：求rab的最大面積，因過焦點且斜率為1的弦長為定值，故可以為三角形的底，只要確定高的最大值即可．
解：設ab所在的直線方程為．
將其代入拋物線方程，消去x得
當過r的直線l平行於ab且與拋物線相切時，△rab的面積有最大值．
設直線l方程為．代入拋物線方程得
由得，這時．它到ab的距離為
∴△rab的最大面積為．
例3 直線過點，與拋物線交於、兩點，p是線段的中點，直線過p和拋物線的焦點f，設直線的斜率為k．
（1）將直線的斜率與直線的斜率之比表示為k的函式；
（2）求出的定義域及單調區間．
分析：過點p及f，利用兩點的斜率公式，可將的斜率用k表示出來，從而寫出，由函式的特點求得其定義域及單調區間．
解：（1）設的方程為：，將它代入方程，得
設，則將代入得：，即p點座標為．
教案 拋物線經典例題
拋物線習題精選精講 1 拋物線 二次曲線的和諧線 橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種 到乙個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合.其離心率e 1，這使它既與橢圓 雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由於這個美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.例1 p為拋物線上任一點...
高中數學高考總複習拋物線習題及詳解
一 選擇題 1 2010 湖北黃岡 若拋物線y2 2px的焦點與橢圓 1的右焦點重合，則p的值為 a 2b 2 c 4d 4 答案 d 解析 橢圓中，a2 6，b2 2，c 2，右焦點 2,0 由題意知 2，p 4.2 已知點m是拋物線y2 2px p 0 上的一點，f為拋物線的焦點，若以 mf 為...
經典高中數學說課教案拋物線及標準方程
說課教案 課題 拋物線及其標準方程 教材內容和地位 本節內容是在初中以二次函式圖象的形式初步 過，現在是在學習了橢圓 雙曲線的基礎上又一種圓錐曲線，它是以圓錐曲線統一定義 即第二定義 進行展開學習的。本章對拋物線的安排篇幅不多，但與橢圓 雙曲線的地位是一樣的。利用拋物線定義推出拋物線標準方程，為以後...