拋物線習題精選精講
（1）拋物線——二次曲線的和諧線
橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到乙個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.
由於這個美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.
【例1】p為拋物線上任一點，f為焦點，則以pf為直徑的圓與y軸（ ）
相交相切相離位置由p確定
【解析】如圖，拋物線的焦點為，準線是
.作ph⊥於h，交y軸於q，那麼，
且.作mn⊥y軸於n則mn是梯形pqof的
中位線，.故以
pf為直徑的圓與y軸相切，選b.
【評注】相似的問題對於橢圓和雙曲線來說，其結論則
分別是相離或相交的.
（2）焦點弦——常考常新的亮點弦
有關拋物線的試題，許多都與它的焦點弦有關.理解並掌握這個焦點弦的性質，對破解這些試題是大有幫助的.
【例2】 過拋物線的焦點f作直線交拋物線於兩點，求證：
（12）
【證明】（1）如圖設拋物線的準線為，作
，.兩式相加即得：
（2）當ab⊥x軸時，有
成立；當ab與x軸不垂直時，設焦點弦ab的方程為：.代入拋物線方程：
.化簡得：
∵方程（1）之二根為x1，x2，∴.
.故不論弦ab與x軸是否垂直，恒有成立.
（3）切線——拋物線與函式有緣
有關拋物線的許多試題，又與它的切線有關.理解並掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功.
【例3】證明：過拋物線上一點m（x0，y0）的切線方程是：y0y=p（x+x0）
【證明】對方程兩邊取導數：
.由點斜式方程：
y0y=p（x+x0）
（4）定點與定值——拋物線埋在深處的寶藏
拋物線中存在許多不不易發現，卻容易為人疏忽的定點和定值.掌握它們，在解題中常會有意想不到的收穫.
例如：1.一動圓的圓心在拋物線上，且動圓恆與直線相切，則此動圓必過定點
顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點，選b.
2.拋物線的通徑長為2p；
3.設拋物線過焦點的弦兩端分別為，那麼：
以下再舉一例
【例4】設拋物線的焦點弦ab在其準線上的射影是a1b1，證明：以a1b1為直徑的圓必過一定點
【分析】假定這條焦點弦就是拋物線的通徑，那麼a1b1=ab=2p，而a1b1與ab的距離為p，可知該圓必過拋物線的焦點.由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點.
以下我們對ab的一般情形給於證明.
【證明】如圖設焦點兩端分別為，
那麼：設拋物線的準線交x軸於c，那麼
.這就說明：以a1b1為直徑的圓必過該拋物線的焦點.
● 通法特法妙法
（1）解析法——為對稱問題解困排難
解析幾何是用代數的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對稱問題等）.
【例5】（07.四川文科卷.10題）已知拋物線
y=-x2+3上存在關於直線x+y=0對稱的相異兩點
a、b，則|ab|等於
a.3 b.4 c.3 d.4
【分析】直線ab必與直線x+y=0垂直，且線段
ab的中點必在直線x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵點a、b關於直線x+y=0對稱，∴設直線ab的方程為：. 由
設方程（1）之兩根為x1，x2，則.
設ab的中點為m（x0，y0），則.代入x+y=0：y0=.故有.
從而.直線ab的方程為：.方程（1）成為：.解得：
，從而，故得：a（-2，-1），b（1，2）.，選c.
（2）幾何法——為解析法添彩揚威
雖然解析法使幾何學得到長足的發展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這又使得許多考生對解析幾何習題望而生畏.針對這種現狀，人們研究出多種使計算量大幅度減少的優秀方法，其中最有成效的就是幾何法.
【例6】（07.全國1卷.11題）拋物線的焦點為，準線為，經過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交於點，，垂足為，則的面積（ ）
abcd．
【解析】如圖直線af的斜率為時∠afx=60°.
△afk為正三角形.設準線交x軸於m，則
且∠kfm=60°，∴.選c.
【評注】（1）平面幾何知識：邊長為a的正三角形的
面積用公式計算.
（2）本題如果用解析法，需先列方程組求點a的座標，，再計算正三角形的邊長和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡單.
（3）定義法——追本求真的簡單一著
許多解析幾何習題咋看起來很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡單.
【例7】（07.湖北卷.7題）雙曲線
的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的線為，焦點為與的乙個交點為，則等於（ ）
abcd．
【分析】 這道題如果用解析法去做，計算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那麼就從最原始的定義方面去尋找出路吧.
如圖，我們先做必要的準備工作：設雙曲線的半
焦距c，離心率為e，作，令
.∵點m在拋物線上，
，這就是說：的實質是離心率e.
其次，與離心率e有什麼關係？注意到：
. 這樣，最後的答案就自然浮出水面了：由於.∴選 a..
（4）三角法——本身也是一種解析
三角學蘊藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函式轉化為同名同角的三角函式，然後根據各種三角關係實施「九九歸一」——達到解題目的.
因此，在解析幾何解題中，恰當地引入三角資源，常可以擺脫困境，簡化計算.
【例8】（07.重慶文科.21題）如圖，傾斜角為a的直線經過拋物線的焦點f，且與拋物線交於a、b兩點。
（ⅰ）求拋物線的焦點f的座標及準線l的方程；
（ⅱ）若a為銳角，作線段ab的垂直平分線m交
x軸於點p，證明|fp|-|fp|cos2a為定值，並求此定值。
【解析】（ⅰ）焦點f（2，0），準線.
（ⅱ）直線ab：
代入（1），整理得：
設方程（2）之二根為y1，y2，則.
設ab中點為
ab的垂直平分線方程是：.
令y=0，則
故於是|fp|-|fp|cos2a=，故為定值.
（5）消去法——合理減負的常用方法.
避免解析幾何中的繁雜運算，是革新、創新的永恆課題.其中最值得推薦的優秀方法之一便是設而不求，它類似兵法上所說的「不戰而屈人之兵」.
【例9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線：（1）與拋物線有兩個不同的交點a和b；（2）線段ab被直線：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線的方程.
【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點
∵線段ab被直線：x+5y-5=0垂直平分，且
.設線段ab的中點為.代入x+5y-5=0得x=1.於是：
ab中點為.故存在符合題設條件的直線，其方程為：
（6）探索法——奔向數學方法的高深層次
有一些解析幾何習題，初看起來好似「樹高蔭深，叫樵夫難以下手」.這時就得冷靜分析，探索規律，不斷地猜想——證明——再猜想——再證明.終於發現「無限風光在險峰」.
【例10】（07.安徽卷.14題）如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交於點a，將線段oa的n等分點從左至右依次記為p1,p2,…,pn-1,過這些分點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次為q1，q2，…，qn-1，從而得到n-1個直角三角形△q1op1, △q2p1p2,…, △qn-1pn-1pn-1,當n→∞時，這些三角形的面積之和的極限為
【解析】∵
設oa上第k個分點為
第k個三角形的面積為：
.故這些三角形的面積之和的極限
拋物線定義的妙用
對於拋物線有關問題的求解，若能巧妙地應用定義思考，常能化繁為簡，優化解題思路，提高思維能力。現舉例說明如下。
一、求軌跡（或方程）
例1. 已知動點m的座標滿足方程，則動點m的軌跡是（ ）
a. 橢圓 b. 雙曲線 c. 拋物線 d. 以上都不對
解：由題意得：
即動點到直線的距離等於它到原點（0，0）的距離
由拋物線定義可知：動點m的軌跡是以原點（0，0）為焦點，以直線為準線的拋物線。
故選c。
二、求引數的值
例2. 已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點到焦點距離為5，求m的值。
解：設拋物線方程為，準線方程：
∵點m到焦點距離與到準線距離相等
解得：∴拋物線方程為
把代入得：
三、求角
例3. 過拋物線焦點f的直線與拋物線交於a、b兩點，若a、b在拋物線準線上的射影分別為，則
a. 45° b. 60° c. 90° d. 120°
圖1解：如圖1，由拋物線的定義知：
則由題意知：
即故選c。
四、求三角形面積
例4. 設o為拋物線的頂點，f為拋物線的焦點且pq為過焦點的弦，若，。求△opq的面積。
解析：如圖2，不妨設拋物線方程為，點、點
圖2則由拋物線定義知：
又，則由得：
即又pq為過焦點的弦，所以
則所以，
點評：將焦點弦分成兩段，利用定義將焦點弦長用兩端點橫座標表示，結合拋物線方程，利用韋達定理是常見的基本技能。
五、求最值
例5. 設p是拋物線上的乙個動點。
（1）求點p到點a（-1，1）的距離與點p到直線的距離之和的最小值；
（2）若b（3，2），求的最小值。
解：（1）如圖3，易知拋物線的焦點為f（1，0），準線是
由拋物線的定義知：點p到直線的距離等於點p到焦點f的距離。
於是，問題轉化為：在曲線上求一點p，使點p到點a（-1，1）的距離與點p到f（1，0）的距離之和最小。
顯然，鏈結af交曲線於p點，則所求最小值為，即為。
圖3（2）如圖4，自點b作bq垂直準線於q交拋物線於點，則
，則有即的最小值為4
圖4點評：本題利用拋物線的定義，將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，從而構造出「兩點間線段距離最短」，使問題獲解。
六、證明
例6. 求證：以拋物線過焦點的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準線相切。
證明：如圖5，設拋物線的準線為，過a、b兩點分別作ac、bd垂直於，垂足分別為c、d。取線段ab中點m，作mh垂直於h。
拋物線教案
2.4.1拋物線及其標準方程 一 教材分析 解析幾何是數學乙個重要的分支，它溝通了數學中數與形 代數與幾何等最基本物件之間的聯絡。平面解析幾何問題，就是借助建立適當的座標系，科學合理地把幾何問題代數化，運用代數的方法來研究幾何問題。本節內容是本章所要研究的三種圓錐曲線中最後的一種曲線，在學習橢圓 雙...
高考數學一輪教案 拋物線經典例題
拋物線習題精選精講 1 拋物線 二次曲線的和諧線 橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種 到乙個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合.其離心率e 1，這使它既與橢圓 雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由於這個美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.例1 p為拋物線上任一點...
高中數學拋物線高考經典例題
1拋物線的定義 平面內與乙個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點f叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線 2拋物線的圖形和性質 頂點是焦點向準線所作垂線段中點。焦準距 通徑 過焦點垂直於軸的弦長為。頂點平分焦點到準線的垂線段 焦半徑為半徑的圓 以p為圓心 fp為半徑的圓必與準...