拋物線及其標準方程教案

2.4.1 拋物線及其標準方程

一、三維目標

（一）知識與技能

（1）掌握拋物線的定義、幾何圖形（2）會推導拋物線的標準方程（3）能夠利用給定條件求拋物線的標準方程

（二）過程與方法

通過「觀察」、「思考」、「**」與「合作交流」等一系列數學活動，培養學生觀察、模擬、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數學觀。並進一步感受座標法及數形結合的思想。

（三）情感態度與價值觀

進一步培養學生合作、交流的能力和團隊精神，培養學生實事求是、善於觀察、勇於探索、嚴密細緻的科學態度；激發學生積極主動地參與數學學習活動，養成良好的學習習慣；同時通過欣賞生活中一些拋物線型建築，不但加強了學生對拋物線的感性認識，而且使學生受到美的享受，陶冶了情操。

二、教學重點

拋物線的定義及標準方程

三、教學難點

拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導（關鍵是座標系方案的選擇）

四、教學過程

1.課題引入

在初中，我們學習了二次函式，知道二次函式的圖象是一條拋物線，例如：（1），（2）的圖象（展示兩個函式圖象）：

師：……那麼，如果問你怎麼樣的曲線是拋物線，你可以回答我嗎？它具有怎樣的幾何特徵？它的方程是什麼呢？這就是我們今天要研究的內容。

（板書課題：2.4.1 拋物線及其標準方程）

2.拋物線的定義

例項引入：用摺紙法畫拋物線

我們把平面內與乙個定點f和一條定直線（不經過點f）距離相等的點的軌跡叫做拋物線。

點f叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。

師：對於「直線經過點f」的情況，我們留到習題課再討論。

3.拋物線的標準方程

從拋物線的定義中我們知道，拋物線上的點滿足到焦點f的距離與到準線的距離相等。那麼動點的軌跡方程是什麼，即拋物線的方程是什麼呢？

要求拋物線的方程，必須先建立直角座標系。

**建立平面直角座標系的方案（演示學生最可能想到的三種建系方案）

問題：哪種方案的方程更簡單呢？

按照方案三的建系方式推導拋物線方程……直接演示方案一和二對應的方程，由學生觀察對比得出方案三的方程最簡單，方案一二的方程推導可以留作課後思考問題。

注意：1.標準方程必須出來。

2.若出現比較複雜建系方案，可以以引入的字母引數較多為由，先排除計算

3.強調p的意義。

4.教師說明曲線方程與方程的曲線：從上述過程可以看到，拋物線上任意一點的座標都滿足方程，以方程的解為座標的點到拋物線的焦點的距離與到準線的距離相等，即方程的解為座標的點都在拋物線上。

所以這些方程都是拋物線的方程

（選擇標準方程）

師：我們把方程叫做拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點座標是，準線方程是。（演示）

師：上面我們主要研究了拋物線開口向右的情況，那麼如果它的開口方向是向左、向上或者向下，其對應的方程又如何了呢？

（演示下列**的第一列和第一行）

（學生完成第二行，教師巡視個別輔導。模擬橢圓第二種標準方程的推導完成第三和第四行。）

對**的說明：統觀四種情況（學生記憶）

（1）表示焦點f到準線的距離；

（2）拋物線標準方程，左邊為二次，右邊為一次。若一次項是x，則對稱軸為x軸，焦點在x軸上；若一次項是y，則對稱軸為y軸，焦點在y軸上；（對稱軸看一次項）

（3）標準方程中一次項前面的係數為正數，則開口方向座標軸正方向；若一次項前面的係數為負數，則開口方向為座標軸負方向；（符號決定開口方向）

4.例題講解

例1（1）已知拋物線的標準方程是，求它的焦點座標和準線方程

（2）已知拋物線的焦點是，求它的標準方程。

分析（1）先看清一次項，判定對稱軸與焦點所在位置，畫草圖，再求出p的值得到焦點座標和準線方程。

（2）先判定出焦點在y軸上，從而得到一次項為y，再求出p的值進而寫出方程。

解：（1）因為，所以拋物線的焦點座標為，準線方程為

（2）因為拋物線的焦點在y軸上，所以拋物線方程為。

隨堂練習1p67練習1

1 根據下列條件寫出拋物線的標準方程：

(1)焦點是

（2）準線方程是

（3）焦點到準線的距離是2

隨堂練習2p67練習2

5.課堂小結

讓學生回憶並小結、提煉本節課學習內容：

1、拋物線的定義

2、拋物線的標準方程有四種不同的形式

3、p的幾何意義是: 焦點到準線的距離

4、標準方程中p前面的正負號決定拋物線的開口方向．

6.作業布置

（1）必做題 p73 a組1，2，3

（2）選做題 p74 b組1

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