拋物線及其標準方程教案

2.3. 1拋物線及其標準方程教案

一、課題：拋物線及其標準方程

二、教材：數學選修1—1 2.3. 1拋物線及其標準方程p56—p59（全日制普通高中課程標準實驗教科書人民教育出版社a版）

三、教學重點：

1、拋物線的定義及標準方程、焦點、準線；

2、進一步熟悉座標法，利用座標法求出拋物線的四種標準方程；

3、會根據拋物線的標準方程，求出焦點座標、準線方程，並畫出其圖形；

4、會根據拋物線的焦點座標或者準線方程，求出拋物線的標準方程。

四、教學難點：

1、用座標法求出拋物線的標準方程；

2、引導學生正確進行數學圖形語言、文字語言、符號語言及其相互轉化；

3、拋物線的四種圖形及標準方程的區分；

4、拋物線定義及焦點、準線等知識的靈活運用。

五、教學目標

1、知識目標：

掌握拋物線的定義，掌握拋物線的四種標準方程形式，及其對應的焦點、準線。

2、能力目標：

通過對拋物線概念和標準方程的學習，領會求拋物線標準方程的步驟，特別是領會建立適當的座標系的思路，培養學生觀察、分析、抽象比較、歸納概括等能力，提高建立座標系的能力，由圓錐曲線的統一定義，初步培養學生理解事物按一定準則、變化、制約的客觀規律，形成學生對事物運動變化、對立、統一的辨證唯物主義觀點。

3、德育目標：

通過拋物線概念和標準方程的學習，培養學生勇於探索、嚴密細緻的科學態度，通過提問、討論、思考等教學活動，調動學生積極參與教學，培養良好的學習習慣。

六、教學物件分析以及教材組織：

學生的基礎普遍較低，數學基礎差，抽象、邏輯推理能力差，厭學情緒濃等特點，我把本節內容：拋物線的定義及其標準方程和幾何性質分三個課時。借助p56 「資訊科技應用」欄目中拋物線生成過程，從形象中入手，使學生對拋物線有乙個較為深刻的認識。

學習方法以協作、討論為主。

七、教學方法：

啟發引導法（通過橢圓與雙曲線第二定義引出拋物線）。

以p56 「資訊科技應用」欄目中拋物線生成過程為依託，採用實驗探索、模擬法、圖表法。

實驗探索：通過實驗、演示，觀察得出動點的軌跡是一條拋物線，在用座標法探求方程。

模擬法：一次函式反映到解析幾何中為直線問題，反比例函式反映到解析幾何中為雙曲線問題，那麼二次函式對應的是什麼圖形呢？由橢圓、雙曲線的定義、標準方程的求法，模擬出拋物線的定義、標準方程、性質。

模擬法使得學生對於教材容易接受，可減輕學生負擔。

圖表法：將拋物線定義、影象、標準方程、焦點座標、準線方程列表，讓學生填充**，通過**可以將它們對比，發現異同點，尋找規律，全面掌握所學知識。

依據建構主義教學原理，通過模擬、歸納把新知識化歸到原有的認知結構中去（二次函式與拋物線方程的對比，移圖與建立適當建立座標系的方法的歸納）。

p56 「資訊科技應用」欄目中拋物線生成過程的應用可以增強課堂的趣味性，能夠化解教學難點，有效的解決教學重點。

教學過程

一、課題引入

利用學生已有知識提問學生:

1．模擬引入：一次函式反映到解析幾何中為直線問題，反比例函式反映到解析幾何中為雙曲線問題，那麼二次函式對應的是什麼圖形呢？

2模擬引入：平面內，與乙個定點的距離和一條定直線的距離之比等於常數е的動點m的軌跡，當0< е<1時，動點m的軌跡是橢圓；當 е>1時，動點m的軌跡是雙曲線；當 е＝1時它又是什麼曲線呢？

(1)、橢圓的第二種定義：平面內，到定點f的距離和到定直線的距離的比是小於1的正常數）е的點的軌跡是橢圓。詳見數學選修1—1 p41例6、p43b組第3題及p43-p44《用《幾何畫板》**點和軌跡：

橢圓》一文、p52例5、p54b組第3題

(2)、雙曲線的第二種定義：平面內，到定點f的距離和到定直線的距離的比是大於1的常數е的點的軌跡是雙曲線。詳見數學選修1—1 p52例5、p54b組第3題

由此引出：平面內，到定點f的距離和到定直線的距離的比是等於1的常數的點的軌跡是什麼？

（以問題為出發點，創設情景，提高學生求知慾）

選修1—1 p56「資訊科技應用」欄目給出了拋物線生成過程，學生觀察

① 兩條線段mh與mf長度的變化；② 觀察追蹤動點m得到的軌跡形狀。

探索出當е＝1時動點m的軌跡為拋物線，進而給出拋物線的定義。

學生觀察所得曲線上動點m（x，y）所滿足的幾何條件為mh=mf,明確拋物線的定義:平面內，到定點f的距離和到定直線的距離的比是等於1的常數的點的軌跡叫做拋物線。從而引出本節課的學習內容。

二、講授新課

1、拋物線的初步認識

物理中拋物線的運動軌跡；

數學中二次函式的圖象；

生活中拋物線的例項：數學選修1—1 p58-p59衛星接收天線的軸截面，p63第3題拋物拱形隧道，p64a組第6題拋物線形拱橋，p65手電筒的反光鏡及探照燈等。

2、拋物線的定義：平面內，到定點f的距離和到定直線的距離的比是等於1的常數的點的軌跡叫做拋物線。

3、拋物線標準方程的推導：

（1）學生回顧求曲線方程的步驟（建系、設點、列方程）；

（2）若焦點f和準線的距離為（）這樣建立座標系？

建立適當的直角座標系。

設拋物線上任意一點m的座標為（x，y），定點f到定直線的距離為p，由已知動點m（x，y）到定點f的距離|mf|與動點m（x，y）到直線的距離d之比為1，轉化出關於x、y的等式，化簡即得到拋物線的標準方程。

由學生思考，可能出現如下的各種建系的方法，讓學生探求每種建系條件下得到的標準方程。

(abc)

分別求出它們的方程：（a以_____為原點）

（b以_____為原點）

（c以_____為原點）

由學生自己總結歸納：由於（1）和（2）中的方程都含有常數項，而（3）具有較簡潔的形式，因而把叫做拋物線的標準方程。這個方程叫做是拋物線的乙個標準方程，它是以(,0)為焦點，為準線的標準方程.

其中是焦點到準線的距離，的值永遠大於0。

師：焦點與準線的相對位置關係還有以下三種情況，因此焦點在座標軸上的標準方程還有三種形式，同學們有什麼辦法能把它們找出來？

生1：還是利用解析法，即建立適當的直角座標系，用定義求解.

fff123)

p58**欄目給出四種位置下的拋物線圖形及所建的座標系。

（3）將學生分成三組，分別推導這三種情況下的拋物線方程，最後師生協作填充p58**欄目的拋物線分類討論**。

（4）觀察以上列表，試回答以下問題：

ⅰ、四種方程的形式有哪些區別與聯絡？

生1：方程的左邊為二次項，右邊為一次項，且都含有基本量；

、一次項係數與焦點座標有何關係？

生2：四倍關係；

、方程與圖形有何關係？生3：一次項字母定軸；一次項係數的正負號定向.

觀察、歸納，尋找異同。

師：同學們還有其他辦法能把它們找出來？

生2：還可以利用對稱的方法，即焦點座標為(,0)和(,0)的兩類關於y軸對稱，焦點座標為(,0)與(0,)的兩類關於對稱.

強調：的幾何意義：焦點到準線的距離，的值永遠大於0。

② 已知拋物線的標準方程（p>0），迅速寫出它的焦點座標、準線方程；

③ 已知拋物線的焦點f或準線方程（p>0），迅速寫出其標準方程。

三、拋物線定義與標準方程的應用

1、例題講解

p58例1（1）已知拋物線的標準方程是，求出它的焦點座標和準線方程；

（2）已知拋物線的焦點座標是f（0，-2），求它的標準方程。

設計意圖：鞏固拋物線的標準方程。

分析：這是關於拋物線標準方程的基本例題，關鍵是確定方程屬於四種中的哪一類和引數的值。

歸納解題要點：定位、定量.

2、課堂練習

p59練習1.根據下列條件寫出拋物線的方程：

①焦點是f（3,0）； ②準線方程是x=-1/4 ；焦點到準線的距離為2。

p59練習2.求下列拋物線的焦點座標和準線方程:

(4) (5)

p58思考二次函式（1）y=x2；（2）y=ax2（а>０或０>а）的影象為什麼是拋物線嗎？指出它的焦點座標和準線方程

（1）y=x2 ，x=y2 是不是拋物線的方程。是不是二次函式的解析式？

（2）今天所學到的拋物線標準方程與已學過的二次函式的解析式有何聯絡與區別？

以焦點在y軸，開口向上的拋物線為例，驗證其方程形式恰符合二次函式特點

本環節的設計與本課開始時引入的問題前後貫通，遙相呼應。

p59練習3填空: (1) 拋物線( p>0)上一點m到焦點的距離是а(а> p/2),則點m到準線的距離是點m的橫座標是

(2)拋物線上與焦點的距離等於9的點的座標是

（3）點m是拋物線上的一點，且點m的橫座標為5，則m到焦點的距離是______.分析：利用定義，m 到焦點的距離等於到準線的距離。

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