拋物線及其標準方程教案

●教學目標

（一）知識與技能

1.拋物線的定義.

2.拋物線的四種標準方程形式及其對應的焦點和準線.

（二）能力訓練要求

1.掌握拋物線的定義及其標準方程.

2.掌握拋物線的焦點、準線及方程與焦點座標的關係.

（三）德育滲透目標

1.訓練學生化簡方程的運算能力.

2.培養學生數形結合、分類討論的思想.

3.根據圓錐曲線的統一定義，可以對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育.

●教學重點

1.拋物線的定義及焦點與準線.

2.拋物線的四種標準方程形式，以及p的意義.

●教學難點

拋物線的四種圖形，標準方程的推導及焦點座標與準線方程.

●教學方法

啟發引導式

通過回憶橢圓與雙曲線的第二定義可引入拋物線的定義，從而推出拋物線的四種標準方程.

●教具準備

投影片兩張

第一張：拋物線的四種形式

第二張：例題與課時小結

●教學過程

ⅰ.課題匯入

［師］我們知道，到乙個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數的點的軌跡，當常數在（0，1）內變化時，軌跡是橢圓；當常數大於1時，軌跡是雙曲線；那麼當常數等於1時軌跡是什麼曲線呢？這就是今天我們要學習的第三種圓錐曲線——拋物線，以及它的定義和標準方程.

板書課題「拋物線及其標準方程（1）」.

［師］現在，同學們思考兩個問題：

1.對拋物線大家已有了哪些認識？

［生］在物理學中，拋物線被認為是拋體運動的軌跡；在數學中，拋物線是二次函式的圖象.

2.二次函式中拋物線的圖象特徵是什麼？

［生］在二次函式中研究的拋物線，它的對稱軸平行於y軸，開口向上或開口向下兩種情形

［師］如果拋物線的對稱軸不平行於y軸，那麼就不能作為二次函式的圖象來研究了.今天我們突破函式研究中的限制，從一般意義上來研究拋物線.

ⅱ.講授新課

［師］如圖所示，把一根直尺固定在圖上直線l的位置，把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細繩的一端固定在三角尺的另一條直角邊的一點a，取繩長等於點a到直角頂點c的長（即點a到直線l的距離），並且把繩子的另一端固定在圖板上的一點f，用鉛筆尖扣著繩子，使點a到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺，然後將三角尺沿著直尺上下滑動，筆尖就在圖板上描出了一條曲線.請同學們說出這條曲線有什麼特徵？

［生］這條曲線上任意一點p到f的距離與它到直線l的距離相等.再把圖板繞點f旋轉90°，曲線即為初中見過的拋物線.

［師］現在我們一起歸納拋物線的定義：平面內與乙個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.

下面根據拋物線的定義來求其方程，大家先想想一般求曲線方程的步驟.

［生］首先建立適當的座標系，然後在曲線上任取一點座標設為（x,y)，再根據題意找出x與y的關係即為所求方程.

［師］現在大家自己求拋物線方程，根據拋物線定義，知道f是定點，l是定直線，從而f到l的距離為定值，設為p，則p是大於0的數.

以下是學生的幾種不同求法：

解法一：以l為y軸，過點f垂直於l的直線為x軸建立直角座標系（如右圖所示），則定點f（p,0)

設動點m（x,y)，由拋物線定義得：

化簡得：

y2=2px-p2(p＞0)

解法二：以定點f為原點，過點f垂直於l的直線為x軸建立直角座標系（如右圖所示），則定點f（0，0），l的方程為x=-p.

設動點m（x,y)，由拋物線定義得：

=|x+p|

化簡得：

y2=2px+p2(p＞0)

解法三：取過焦點f且垂直於準線l的直線為x軸，x軸與l交於k，以線段kf的垂直平分線為y軸建立直角座標系，如右圖所示，則有f（,0）,l的方程為x=-.

設動點m（x,y），由拋物線定義得：

化簡得y2=2px(p＞0)

［師］通過比較可以看出，第三種解法的答案不僅具有較簡的形式，而且方程中一次項的係數是焦點到準線距離的2倍.我們把這個方程叫做拋物線的標準方程，它表示拋物線的焦點在x軸的正半軸上，座標是（,0），準線方程是x=-.現在大家開始做課本p118上的練習第1題.

學生們經過一番運算，得出當座標系變為以過焦點且垂直於直線l的直線作為y軸，原點和拋物線都不變時，拋物線方程為x2=2py.

［師］一條拋物線，由於它在座標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，如下表所示：（打出投影片）

［師］下面結合**，看下列例題：

1.已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點座標和準線方程.

2.已知拋物線的焦點座標是f（0，-2），求它的標準方程.

分析：1.先根據拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點座標和準線方程.

2.先根據焦點位置確定拋物線型別，設出標準方程，求出p，再寫出標準方程.

ⅲ.課堂練習

請學生板演

（1）根據下列條件寫出拋物線的標準方程：

①焦點是f(0,3)， ②準線方程是x=-， ③焦點到準線的距離是2.

ⅳ.課時小結

由於拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式都只含有乙個引數p，因此只要給出確定p的乙個條件就可以求出拋物線的標準方程.當拋物線的焦點座標或準線方程給定以後，它的標準方程就惟一確定.

ⅴ.課後作業

（1）課本習題

（二）預習內容：該小節剩下的兩道例題.

●板書設計

拋物線的簡單幾何性質

【教學目標】

1.記住拋物線的幾何性質，會根據拋物線的幾何性質確定拋物線的位置及基本量；

2.會簡單應用拋物線的幾何性質；

3.強化數形結合的思想.

【重點難點】

拋物線的幾種不同狀態下的標準方程的幾何性質和應用.

【教學過程】

複習與引入過程

1．拋物線的定義是什麼？

請一同學回答．應為：「平面內與乙個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．」

2．拋物線的標準方程是什麼？

再請一同學回答．應為：拋物線的標準方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．

下面我們模擬橢圓、雙曲線的幾何性質，從拋物線的標準方程y2=2px(p＞0)出發來研究它的幾何性質．《板書》拋物線的幾何性質

（2）新課講授過程

（i）拋物線的幾何性質

通過和橢圓、雙曲線的幾何性質相比，拋物線的幾何性質有什麼特點？

學生和教師共同小結：

(1)拋物線只位於半個座標平面內，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線．

(2)拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直於拋物線的準線或與頂點和焦點的連線重合，拋物線沒有中心．

(3)拋物線只有乙個頂點，它是焦點和焦點在準線上射影的中點．

(4)拋物線的離心率要聯絡橢圓、雙曲線的第二定義，並和拋物線的定義作比較．其結果是應規定拋物線的離心率為1．注意：這樣不僅引入了拋物線離心率的概念，而且把圓錐曲線作為點的軌跡統一起來了

（ii）例題講解與引申

例題3 已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點m(-3，m)到焦點的距離等於5，求拋物線的方程和m的值．

解法一：由焦半徑關係，設拋物線方程為y2=-2px(p＞0)，則準線方

因為拋物線上的點m(-3，m)到焦點的距離|mf|與到準線的距離

得p=4．

因此，所求拋物線方程為y2=-8x．

又點m(-3，m)在此拋物線上，故m2=-8(-3)．

解法二：由題設列兩個方程，可求得p和m．由學生演板．由題意

在拋物線上且|mf|=5，故

例4　過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點f的一條直線與這拋物線相交於a、b兩點，且a(x1，y1)、b(x2，y2)(圖2-34)，

（一）複習：

（1）拋物線的四種標準方程；

（2）基本量的幾何意義.

（二）新課講解：

拋物線的幾何性質列表如下：

歸納總結

(1)、拋物線只位於半個座標平面內，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；

(2)、拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;

(3)、拋物線只有乙個頂點，乙個焦點，一條準線；

(4)、拋物線的離心率是確定的，為１,

⑸、拋物線的通徑為2p, 2p越大，拋物線的張口越大.

(6)、通徑：過拋物線的焦點且垂直於對稱軸的弦稱為通徑.

例1．已知拋物線關於軸對稱，它的頂點在座標原點，並且經過點，求它的標準方程，並用描點法畫出圖形．

例2．探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分（圖（1）），光源位於拋物線的焦點處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm,求拋物線的標準方程和焦點的位置．

例3．若拋物線的通徑長為7，頂點在座標原點，且關於座標軸對稱，求拋物線的方程．

例4．點、是拋物線上兩點，垂直於這條拋物線的對稱軸，且，為座標原點，，求的值．

練習：（1）已知點a與拋物線的焦點的距離是, 則

（2）拋物線的弦ab垂直軸，若|ab|=, 則焦點到ab的距離為

（3）已知直線與拋物線交於a、b兩點，那麼線段ab的中點座標是 __

五、總結歸納

六．課後作業：書p133 a組16題，17題。

補充：1．過拋物線的焦點的直線與拋物線交於、兩點，若點、在拋物線的準線上的射影分別是，．求證：。

2．拋物線上有兩個定點、（位於軸的上下兩側），是拋物線的焦點，並且，.在拋物線這段曲線上，求一點，使得的面積最大，並求最大面積.

拋物線的幾何性質

一、溫故而知新

(1)平面內，到定點f的距離與到定直線的距離比為常數的點的軌跡,(定點f不在定直線上)

當時,是______; 當時,是當時,是________.

(2)拋物線的標準方程

①開口向右開口向左

③開口向上開口向下

二、幾何性質(以為例)

(1)範圍

拋物線及其標準方程教案

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拋物線標準方程及其性質教案

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