拋物線性質高考題型
（1）拋物線——二次曲線的和諧線
【例1】p為拋物線上任一點，f為焦點，則以pf為直徑的圓與y軸（ ）
相交相切相離位置由p確定
【解析】如圖，拋物線的焦點為，準線是
.作ph⊥於h，交y軸於q，那麼，
且.作mn⊥y軸於n則mn是梯形pqof的
中位線，.故以
pf為直徑的圓與y軸相切，選b.
（2）焦點弦——常考常新的亮點弦
（3）切線——拋物線與函式有緣
例如：1.一動圓的圓心在拋物線上，且動圓恆與直線相切，則此動圓必過定點
顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點，選b.
2.拋物線的通徑長為2p；
3.設拋物線過焦點的弦兩端分別為，那麼：
【例4】設拋物線的焦點弦ab在其準線上的射影是a1b1，證明：以a1b1為直徑的圓必過一定點
【證明】如圖設焦點兩端分別為，
那麼：設拋物線的準線交x軸於c，那麼
.這就說明：以a1b1為直徑的圓必過該拋物線的焦點.
（1）解析法——為對稱問題
【例5】）已知拋物線
y=-x2+3上存在關於直線x+y=0對稱的相異兩點
a、b，則|ab|等於
a.3 b.4 c.3 d.4
【解析】∵點a、b關於直線x+y=0對稱，∴設直線ab的方程為：. 由
設方程（1）之兩根為x1，x2，則.
設ab的中點為m（x0，y0），則.代入x+y=0：y0=.故有.
從而.直線ab的方程為：.方程（1）成為：.解得：
，從而，故得：a（-2，-1），b（1，2）.，選c.
（2）幾何法——為解析法添彩揚威
【例6】（07.全國1卷.11題）拋物線的焦點為，準線為，經過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交於點，，垂足為，則的面積（ ）
abcd．
【解析】如圖直線af的斜率為時∠afx=60°.
△afk為正三角形.設準線交x軸於m，則
且∠kfm=60°，∴.選c.
（3）定義法——追本求真的簡單一著
【例7】（07.湖北卷.7題）雙曲線
的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的線為，焦點為與的乙個交點為，則等於（ ）
abcd．
如圖，我們先做必要的準備工作：設雙曲線的半
焦距c，離心率為e，作，令
.∵點m在拋物線上，
，這就是說：的實質是離心率e.
其次，與離心率e有什麼關係？注意到：
. 這樣，最後的答案就自然浮出水面了：由於.∴選 a..
（4）三角法——本身也是一種解析
【例8】）如圖，傾斜角為a的直線經過拋物線的焦點f，且與拋物線交於a、b兩點。
（ⅰ）求拋物線的焦點f的座標及準線l的方程；
（ⅱ）若a為銳角，作線段ab的垂直平分線m交
x軸於點p，證明|fp|-|fp|cos2a為定值，並求此定值。
【解析】（ⅰ）焦點f（2，0），準線.
（ⅱ）直線ab：
代入（1），整理得：
設方程（2）之二根為y1，y2，則.
設ab中點為
ab的垂直平分線方程是：.
令y=0，則
故於是|fp|-|fp|cos2a=，故為定值.
（5）消去法——合理減負的常用方法.
【例9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線：（1）與拋物線有兩個不同的交點a和b；（2）線段ab被直線：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線的方程.
【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點
∵線段ab被直線：x+5y-5=0垂直平分，且
.設線段ab的中點為.代入x+5y-5=0得x=1.於是：
ab中點為.故存在符合題設條件的直線，其方程為：
例2 已知過拋物線的焦點且斜率為1的直線交拋物線於a、b兩點，點r是含拋物線頂點o的弧ab上一點，求△rab的最大面積．
分析：求rab的最大面積，因過焦點且斜率為1的弦長為定值，故可以為三角形的底，只要確定高的最大值即可．
解：設ab所在的直線方程為．
將其代入拋物線方程，消去x得
當過r的直線l平行於ab且與拋物線相切時，△rab的面積有最大值．
設直線l方程為．代入拋物線方程得
由得，這時．它到ab的距離為
∴△rab的最大面積為．
例5 設過拋物線的頂點o的兩弦oa、ob互相垂直，求拋物線頂點o在ab上射影n的軌跡方程．
解法一：設
則：，，即把n點看作定點，則ab所在的直線方程為：顯然
代入化簡整理得：
由①、②得：，化簡得
用x、y分別表示得：
例6如圖所示，直線和相交於點m，⊥，點，以a、b為端點的曲線段c上的任一點到的距離與到點n的距離相等，若△amn為銳角三角形，，，且，建立適當的座標系，求曲線段c的方程．
解：以為x軸，mn的中點為座標原點o，建立直角座標系．
由題意，曲線段c是n為焦點，以為準線的拋物線的一段，其中a、b分別為曲線段的兩端點．
∴設曲線段c滿足的拋物線方程為：其中、為a、b的橫座標
令則，∴由兩點間的距離公式，得方程組：
解得或∵△amn為銳角三角形，∴，則，
又b在曲線段c上，
則曲線段c的方程為
例7如圖所示，設拋物線與圓在x軸上方的交點為a、b，與圓在x由上方的交點為c、d，p為ab中點，q為cd的中點．（1）求．（2）求△abq面積的最大值．
解：（1）設
由得：，
由得，同類似，
則， （2）
，∴當時，取最大值．
例8 已知直線過原點，拋物線的頂點在原點，焦點在軸的正半軸上，且點和點關於直線的對稱點都在上，求直線和拋物線的方程．
解法一：設拋物線的方程為，直線的方程為，
則有點，點關於直線的對稱點為、，
則有解得
解得如圖，、在拋物線上
∴兩式相除，消去，整理，得，故，
由，，得．把代入，得．
∴直線的方程為，拋物線的方程為．
解法二：設點、關於的對稱點為、，
又設，依題意，有，．
故，．由，知．
∴，．又，，故為第一象限的角．
∴、．將、的座標代入拋物線方程，得
∴，即從而，，
∴，得拋物線的方程為．
又直線平分，得的傾斜角為．
∴．∴直線的方程為．
例9 如圖，正方形的邊在直線上，、兩點在拋物線上，求正方形的面積．
解：∵直線，，∴設的方程為，且、．
由方程組，消去，得，於是
，，∴(其中)
∴．由已知，為正方形，，
∴可視為平行直線與間的距離，則有
，於是得．
兩邊平方後，整理得，，∴或．
當時，正方形的面積．
當時，正方形的面積．
∴正方形的面積為18或50．
例11 如圖，拋物線頂點在原點，圓的圓心是拋物線的焦點，直線過拋物線的焦點，且斜率為2，直線交拋物線與圓依次為、、、四點，求的值．
解：由圓的方程，即可知，圓心為，半徑為2，又由拋物線焦點為已知圓的圓心，得到拋物線焦點為，設拋物線方程為，
∵為已知圓的直徑，∴，則．
設、，∵，而、在拋物線上，
由已知可知，直線方程為，於是，由方程組
消去，得，∴．
∴，因此，．
拋物線的簡單幾何性質
1 已知拋物線y2 2px p 0 的準線與圓x2 y2 6x 7 0相切，則p的值為 a b 1 c 2 d 4 2 設拋物線y2 8x的焦點為f，準線為l，p為拋物線上一點，pa l，a為垂足，如果直線af的斜率為 那麼 pf a 4b 8c 8d 16 3 設m x0，y0 為拋物線c x2 ...
拋物線的簡單幾何性質學案
2.4.2 拋物線的簡單幾何性質 一 學習目標 1 記住拋物線的幾何性質，會根據拋物線的幾何性質確定拋物線的位置及基本量 2 會簡單應用拋物線的幾何性質。一 知識回顧 1 拋物線的頂點座標是 焦點座標是 準線方程是離心率是 通徑長 2 拋物線上的兩點 到焦點的距離之和為5，則線段的中點的橫座標是 3...
橢圓的簡單幾何性質典型例題
典型例題一 例1 橢圓的乙個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程 分析 題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置 解 1 當為長軸端點時，橢圓的標準方程為 2 當為短軸端點時，橢圓的標準方程為 說明 橢圓的標準方程有兩個，給出乙個頂點的座標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮...