典例剖析
[例1]分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程.
（1）過點（3，-4）；
（2）焦點在直線x+3y+15=0上.
【解】（1）∵點（3，-4）在第四象限，
∴拋物線的標準方程為y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).
把點（3，-4）的座標分別代入y2=2px和x2=-2p1y，
得(-4)2=2p·3，32=-2p1·(-4)，即2p=，2p1=.
∴所求拋物線的方程為y2=x蔌x2=-y.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.∴拋物線的焦點為（0，-5）或（-15，0）.
∴所求拋物線的標準方程為y2=-60x或x2=-20y.
【點評】求拋物線的標準方程需要；（1）求p；（2）判斷焦點所在座標軸的位置.
［例2］已知拋物線的焦點為(3，3)，準線為x軸，求拋物線的方程.
【解】設m(x,y)為拋物線上的任意一點，
則由拋物線的定義得=|y|，
平方整理，得y=x2－x+3為所求拋物線的方程.
【點評】當拋物線不在標準位置時，只有利用其定義來求方程.
［例3］點m與點f(0，－2)的距離比它到直線l:y－3=0的距離小1,求點m的軌跡方程.
【解】設點m的座標為(x,y).
由已知條件可知，點m與點f的距離等於它到直線y－2=0的距離.根據拋物線的定義，點m的軌跡是以f(0，－2)為焦點的拋物線.
∵=2,∴p=4.
∵焦點在y軸的負半軸上，
∴點m的軌跡方程x2=－8y.
【點評】若將條件化為｜mf｜＋1＝｜y－3｜，其中｜mf｜用兩點間的距離公式表示，再化簡得方程.過程將非常繁瑣.
拋物線及其標準方程例題
例1 過定點a 2，1 作傾斜角為的直線與拋物線y ax2交於b c兩點，且 bc 是 ab ac 的等比中項，求拋物線方程.解 設b x1，y1 c x2，y2 直線過a 2，1 點，且傾斜角為，所以直線方程為y x 1，建立方程組 由 代入 整理得 ax2 x 1 0,而 bc 是 ab ac ...
拋物線及其標準方程
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拋物線及其標準方程
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