已知拋物線，ab是拋物線的焦點弦，點c是ab的中點. aa』垂直準線於a』， bb』垂直準線於b』， cc』垂直準線於c』，cc』交拋物線於點m，準線交x軸於點k. 求證：
1. 2.；
3.以ab為直徑的圓與準線相切；
證明：cc』是梯形aa』bb』的中位線，
4.；(由1可證)
5.；同理：得證.
6..證明：由得證.
7.垂直平分；垂直平分；
證明：由可知，
同理可證另乙個.
8.平分，平分,a』f平分，b』f平分.
證明：由垂直平分可證.
9. ；
證明：10.；；
證明：作ah垂直x軸於點h，則. 同理可證另乙個.
11.;
證明：由；；得證.
12. 點a處的切線為;
證明：（方法一）設點a處切線方程為，與聯立，得
由解這個關於k的一元二次方程（它的差別式也恰為0）得：得證.
證法二：（求導）兩邊對x求導得得證.
是切線，切點為a；bc』是切線，切點為b；
證明：易求得點a處的切線為，點b處的切線為，解得兩切線的交點為,得證.
14. 過拋物線準線上任一點p作拋物線的切線，則過兩切點q1、q2的弦必過焦點;並且
證明：設點為準線上任一點，過點p作拋物線的切線，切點為,
兩邊對x求導得
顯然切點有兩個，設為
所以q1q2過焦點.
三點共線；b、o、三點共線；
證明：a、o、三點共線
同理可證：b、o、三點共線.
16.；
證明：設ab的方程為，與聯立，得
17.證明：
得證.18.；
證明：.19.（定值）； 證明：由、得證.
20．證明：
21.； 證明：由得證.
22.； 證明：由點差法得證.
23.;
證明：作aa2垂直x軸於點a2,在中， 同理可證另乙個.
24.;
證明：，由，得證.
25. 設cc』交拋物線於點m，則點m是cc』的中點；
證明：把代入，得
所以點m的橫座標為點m是cc』的中點.
當弦ab不過焦點時，設ab交x軸於點,設分別以a、b為切點的切線相交於點p，求證：
26.點p在直線上
證明：設與聯立，得，又由
代入得，得證.
27. 設pc交拋物線於點m，則點m是pc的中點；
證明：把代入，得
所以點m的橫座標為點m是pc的中點.
28.設點a、b在準線上的射影分別是a1，b1，則pa垂直平分a1f， pb垂直平分b1f，從而pa平分，pb平分
證明：又，所以pa垂直平分a1f. 同理可證另乙個.
證法二：
同理可證另乙個
29.證明：
易證：30．證明：
得證.例1：（2007江蘇高考第19題）如圖，過c（0，c）（c>0）作直線與拋物線y=x2相交於a、b兩點，一條垂直於x軸的直線，分別與線段ab和直線y+c=0交於p、q。
（1）若=2，求c的值；
（2）若p為線段ab的中點，
求證：aq為拋物線的切線；
（3）試問（2）的逆命題是否成立。
解：（1）設a（x1，y1），b（x2，y2），c（0，c）
點a在拋物線上：y1=x12 （1）點b在拋物線上：y2=x22 （2）
直線ab經過點c3）
將（1）式與（2）式分別代入（3）式，得到x1x2=-c，y1y2=c2
由= x1x2+y1y2=2，得c=2。
（2）p為線段ab的中點，得點q的座標為（，-c）
由aq的斜率k1=，過點a的切線的斜率為k2=2x1。所以直線aq是拋物線的切線。
（3）過點a的切線方程為y-y1=2 x1（x-x1）與直線y=-c相交於點q，
將y=-c代入y-y1=2 x1（x-x1），可得-c-x12=2 x1（x-x1）即x1x2-x12=2 x1（x-x1）
所以點q的橫座標為，即點p為線段ab的中點。（2）的逆命題成立。
該題的命題思路就是借助於性質3而編制的一道中等難度的題。其中主要運用了切線的斜率，切線的方程的寫法，以及拋物線中的定值的使用。下題也是用類似的方法命制的題。
例2：（2006全國高考卷ⅱ21題）拋物線x2=4y的焦點f，a、b是拋物線上兩動點，且，過a、b兩點分別作拋物線的切線，設其交點為m。
（1） 證明：為定值；
（2） 設△abm的面積為s，寫出s=f（λ）的表示式，並求出s的最小值。
解：（1）設a（x1，y1），b（x2，y2），f（0，1）
點a在拋物線上：4y1=x12 （1）點b在拋物線上：4y2=x22 （2）
直線ab經過點f3）
得到過點a的切線方程：2（y-y1）=x1（x-x1） （4）
過點b的切線方程：2（y-y2）=x2（x-x2） （5）
由（1）（2）（3）得x1x2=-4，y1y2=1。
由（4）、（5）得m座標為（，-1）。
所以=（，-2）·（x2- x1，y2- y1）=。
（2），即（0-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1）
所以-x1=λx2，再由x1x2=-4，得λx2x2=4，
即x2=，則x1=，y1=λ，y2=。由=0，
所以s= f（λ）=
=。當λ=1時，△abm的面積s取得最小值。
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