拋物線知識點一拋物線概念的應用
例1 已知拋物線的焦點是，點是拋物線上的動點，又有點a(3,2)，求的最小值，並求出取最小值時p點的座標。
解：將代入拋物線方程，得
，點a在拋物線內部.
設拋物線上的點p到準線：的距離為d，由定義知=
當⊥時，最小，最小值為，即的最小值為
此時p點縱座標為2，代入，得，點p的座標為（2,2）
知識點二求拋物線的標準方程
例2 求適合下列條件的拋物線的標準方程：
（1）過點（-3,2）；
（2）交點在直線上.
分析設拋物線的標準形式，依據條件求出的值.
解 （1）設拋物線標準方程為或（），則將點（-3,2）代入方程得或，故拋物線的標準方程為，或
（2） 令，由方程，得.
拋物線的交點為f(0，-2).
設拋物線方程為，則由，得.
所求的拋物線方程為
令，由，得
拋物線的交點為f(4，0).
設拋物線方程為，由，得
所求的拋物線方程為
知識點三拋物線在實際中的應用
例3 汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射的軸垂直，燈泡位於拋物線焦點處，已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那麼燈泡與反射鏡的頂點（即截面得拋物線頂點）距離是多少？
分析確定拋物線方程，求出拋物線的交點到其頂點的距離
解取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點為座標原點，建立直角座標系xoy，如圖所示.
因燈口直徑,燈深,所以點a的座標是（10,12），
設拋物線的方程為
由點a在拋物線上，得
拋物線焦點座標為（）
因此燈泡與放射鏡的距離是.
知識點四拋物線幾何性質的簡單應用
例4 拋物線的頂點在原點，對稱軸重合與橢圓短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程.
分析先確定拋物線方程的形式，再依條件求待定引數.
解橢圓可化為，得拋物線的對稱軸為x軸.
設拋物線的方程為（），
又拋物線的交點到頂點的距離為3，
則有， ，即，
故所求拋物線方程為，或
知識點五直線與拋物線
例5 已知過拋物線的焦點的直線交拋物線於a、b兩點，且，求ab所在的直線方程.
解焦點，設，，
若直線ab⊥，則，不符合題意.
所以直線ab的斜率存在，設為，
則直線ab的方程為，.
由，消去x整理得
由韋達定理得：，.
解的 ab所在的直線方程為
知識點六拋物線的焦點弦問題
例6 ab是過拋物線焦點f的弦，m是ab的中點，是拋物線的準線，⊥,n為垂足.求證：
（1）⊥；
（2）⊥；
（3）若mn交拋物線於q，則q平分mn.
證明：（1）作ac⊥,垂足為c，作bd⊥，垂足為d,在直角梯形abcd中，
由平面幾何知識可知：δabc是直角三角形，即⊥.
（2），∠∠
∥在δacn和δafn中，,
且∠=∠,△≌△
∴∠afn=∠nca=90°
∴⊥（3）在rt△mnf中，連線qf，由拋物線的定義及（2）得：
∠∠且∠90°-∠
∠=90°- ∠
∴，即q平分mn.
知識點七拋物線的綜合問題
例7 過拋物線的焦點f作傾斜角為的直線交拋物線於a、b兩點，設△aob的面積s（o為原點）.
(1)用、表示;
(2)求s的最小值；當最小值為4時，求拋物線的方程.
解 （1）設直線，代入，得，
即 ，
當ab⊥x軸時，上式也成立.
∴即（2）當°時，，若，則
∴此時拋物線的方程為
拋物線知識點總結
拋物線1.定義 平面內與乙個定點f和一條定直線l l不過f 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線 其數學表示式 mf d 其中d為點m到準線的距離 7 拋物線的幾何性質 方程的記憶 一次項是誰焦點就在那一條軸上，一次項係數為正開口正方向，為負開口負方向.1 若...
拋物線知識點歸納總結
1.直線與拋物線的位置關係 直線，拋物線，消y得 1 當k 0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有乙個交點 2 當k 0時，0，直線與拋物線相交，兩個不同交點 0，直線與拋物線相切，乙個切點 0，直線與拋物線相離，無公共點。3 若直線與拋物線只有乙個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?不一定 2.關於直線與...
拋物線題及知識點總結
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