一、拋物線的定義及其應用
[例1] 設p是拋物線y2＝4x上的乙個動點．
(1)求點p到點a(－1,1)的距離與點p到直線x＝－1的距離之和的最小值；
(2)若b(3,2)，求|pb|＋|pf|的最小值．
例2、．(2011·山東高考)設m(x0，y0)為拋物線c：x2＝8y上一點，f為拋物線c的焦點，以f為圓心、|fm|為半徑的圓和拋物線c的準線相交，則y0的取值範圍是( )
a．(0,2b．[0,2]
c．(2d．[2，＋∞)
．二、拋物線的標準方程和幾何性質
例3、拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為f，準線為l，經過f的直線與拋物線交於a、b兩點，交準線於c點，點a在x軸上方，ak⊥l，垂足為k，若|bc|＝2|bf|，且|af|＝4，則△akf的面積是
a．4b．3
c．4d．8
[悟一法]
1.求拋物線的標準方程常採用待定係數法，未知數只有p，可利用題中已知條件確定p的值．注意到拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．
2.涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特徵．
例4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點f的直線交拋物線於點a、b，交其準線l於點c，若|bc|＝2|bf|，且|af|＝3則此拋物線的方程為
a．y2＝x b．y2＝9x c．y2＝xd．y2＝3x
三、拋物線的綜合問題
[例5] (2011·江西高考)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線於a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1(1)求該拋物線的方程；
(2)o為座標原點，c為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值．
例6、(2011·湖南高考)(13分)已知平面內一動點p到點f(1,0)的距離與點p到y軸的距離的差等於1.
(1)求動點p的軌跡c的方程；
(2)過點f作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與軌跡c相交於點a，b，l2與軌跡c相交於點d，e，求·的最小值
例7．已知點m(1，y)在拋物線c：y2＝2px(p>0)上，m點到拋物線c的焦點f的距離為2，直線l：y＝－x＋b與拋物線c交於a，b兩點．
(1)求拋物線c的方程；
(2)若以ab為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程．
練習題1．已知拋物線x2＝ay的焦點恰好為雙曲線y2－x2＝2的上焦點，則a等於
a．1 b．4c．8d．16
2．拋物線y＝－4x2上的一點m到焦點的距離為1，則點m的縱座標是
abcd.
3．(2011·遼寧高考)已知f是拋物線y2＝x的焦點，a，b是該拋物線上的兩點，|af|＋|bf|＝3，則線段ab的中點到y軸的距離為 ( )
ab．1cd.
4．已知拋物線y2＝2px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關係是 ( )
a．相離b．相交 c．相切d．不確定
5．(2012·宜賓檢測)已知f為拋物線y2＝8x的焦點，過f且斜率為1的直線交拋物線於a、b兩點，則||fa|－|fb||的值等於a．4b．8c． 8d．16
6．在y＝2x2上有一點p，它到a(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點p的座標是
a．(－2,1b．(1,2)
c．(2,1d．(－1,2)
7．設拋物線y2＝8x的焦點為f，準線為l，p為拋物線上一點，pa⊥l，a為垂足．如果直線af的斜率為－，那麼|pf
a．4b．8
c．8d．16
8．(2011·陝西高考)設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是
a．y2＝－8x b．y2＝8x c．y2＝－4x d．y2＝4x
9．(2012·永州模擬)以拋物線x2＝16y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為________．
10．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，拋物線上一點q(－3，m)到焦點的距離是5，則拋物線的方程為________．
11．已知拋物線y2＝4x與直線2x＋y－4＝0相交於a、b兩點，拋物線的焦點為f，那麼
12．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線於a(x1，y1)，b(x2， y2)兩點，若x1＋x2＝6，那麼 |ab|等於________
13．根據下列條件求拋物線的標準方程：
(1)拋物線的焦點是雙曲線 16x2－9y2＝144的左頂點；
(2)過點p(2，－4)．
14．已知點a(－1,0)，b(1，－1)，拋物線c：y2＝4x，o為座標原點，過點a的動直線l交拋物線c於m，p兩點，直線mb交拋物線c於另一點q.若向量與的夾角為，求△pom的面積．
一、拋物線的定義及其應用
[例1] 設p是拋物線y2＝4x上的乙個動點．
(1)求點p到點a(－1,1)的距離與點p到直線x＝－1的距離之和的最小值；
(2)若b(3,2)，求|pb|＋|pf|的最小值．
[自主解答] (1)如圖，易知拋物線的焦點為f(1,0)，準線是x＝－1.
由拋物線的定義知：點p到直線x＝－1的距離等於點p到焦點f的距離．
於是，問題轉化為：在曲線上求一點p，使點p到點a(－1,1)的距離與點p到f(1,0)的距離之和最小．顯然，鏈結af交曲線於p點，則所求的最小值為|af|，即為.
(2)如圖，自點b作bq垂直準線於q，交拋物線於點p1，則|p1q|＝|p1f|.
則有|pb|＋|pf|≥|p1b|＋|p1q|＝|bq|＝4.即|pb|＋|pf|的最小值為4.
例2、．(2011·山東高考)設m(x0，y0)為拋物線c：x2＝8y上一點，f為拋物線c的焦點，以f為圓心、|fm|為半徑的圓和拋物線c的準線相交，則y0的取值範圍是( )
a．(0,2b．[0,2]
c．(2d．[2，＋∞)
解析：圓心到拋物線準線的距離為p，即p＝4，根據已知只要|fm|>4即可．根據拋物線定|fm|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值範圍是(2，＋∞)．
二、拋物線的標準方程和幾何性質
例3、拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為f，準線為l，經過f的直線與拋物線交於a、b兩點，交準線於c點，點a在x軸上方，ak⊥l，垂足為k，若|bc|＝2|bf|，且|af|＝4，則△akf的面積是
a．4b．3
c．4d．8
設點a(x1，y1)，其中y1>0.由點b作拋物線的準線的垂線，垂足為b1.則有 |bf|＝|bb1|；又|cb|＝2|fb|，因此有|cb|＝2|bb1|，cos∠cbb1＝＝，∠cbb1＝.
即直線ab與x軸的夾角為.
又|af|＝|ak|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝2，
因此△akf的面積等於|ak|·y1＝×4×2＝4.
[悟一法]
1.求拋物線的標準方程常採用待定係數法，未知數只有p，可利用題中已知條件確定p的值．注意到拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．
2.涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特徵．
例4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點f的直線交拋物線於點a、b，交其準線l於點c，若|bc|＝2|bf|，且|af|＝3則此拋物線的方程為
a．y2＝x b．y2＝9x
c．y2＝xd．y2＝3x
解析：分別過點a、b作aa1、bb1垂直於l，且垂足分別為a1、b1，由已知條件|bc|＝2|bf|得|bc|＝2|bb1|，∴∠bcb1＝30°，又|aa1|＝|af|＝3，
∴|ac|＝2|aa1|＝6，∴|cf|＝|ac|－|af|＝6－3＝3，∴f為線段ac的中點．故點f到準線的距離為p＝|aa1|＝，故拋物線的方程為y2＝3x.
三、拋物線的綜合問題
[例5] (2011·江西高考)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線於a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1(1)求該拋物線的方程；
(2)o為座標原點，c為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值．
[自主解答] (1)直線ab的方程是y＝2 (x－)，與y2＝2px聯立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝，由拋物線定義得：|ab|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可簡化為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，從而a(1，－2)，b(4,4)；
設＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．
拋物線知識點總結
拋物線1.定義 平面內與乙個定點f和一條定直線l l不過f 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線 其數學表示式 mf d 其中d為點m到準線的距離 7 拋物線的幾何性質 方程的記憶 一次項是誰焦點就在那一條軸上，一次項係數為正開口正方向，為負開口負方向.1 若...
拋物線知識點總結
拋物線知識點一拋物線概念的應用 例1 已知拋物線的焦點是，點是拋物線上的動點，又有點a 3,2 求的最小值，並求出取最小值時p點的座標。解 將代入拋物線方程，得 點a在拋物線內部.設拋物線上的點p到準線 的距離為d，由定義知 當 時，最小，最小值為，即的最小值為 此時p點縱座標為2，代入，得，點p的...
拋物線知識點歸納總結
1.直線與拋物線的位置關係 直線，拋物線，消y得 1 當k 0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有乙個交點 2 當k 0時，0，直線與拋物線相交，兩個不同交點 0，直線與拋物線相切，乙個切點 0，直線與拋物線相離，無公共點。3 若直線與拋物線只有乙個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?不一定 2.關於直線與...