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8.2 二元一次不等式組與簡單的線性規劃問題
【知識網路】
1、二元一次不等式組以及可化成二元一次不等式組的不等式的解法；
2、作二元一次不等式組表示的平面區域，會求最值；
3、線性規劃的實際問題和其中的整點問題。
【典型例題】
例1：（1）已知點p（x0，y0）和點a（1，2）在直線的異側，則（ ）
a． b． 0
c． d．
答案: d。解析：將（1，2）代入得小於0，則。
（2）滿足的整點的點（x，y）的個數是
a．5 b．8 c．12 d．13
答案：d。解析：作出圖形找整點即可。
（3）不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面區域是
答案：c。解析：原不等式等價於
兩不等式表示的平面區域合併起來即是原不等式表示的平面區域．
（4）設實數x, y滿足，則的最大值為
答案:。解析：過點時，有最大值。
（5）已知，求的取值範圍
答案：。解析：過點時有最小值5，過點（3，1）時有最大值10。
例2：試求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面區域的面積大小．
答案: 解：原不等式組可化為如下兩個不等式組：
①或 ②
上述兩個不等式組所表示的平面區域為如圖所示的陰影部分．
它所圍成的面積s＝×4×2－×2×1＝3．
例3：已知函式f(x)和g(x)的圖象關於原點對稱，且f(x)＝x2＋2x．
(ⅰ)求函式g(x)的解析式；
(ⅱ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函式，求實數的取值範圍。
答案: (ⅰ)設函式的圖象上任意一點關於原點的對稱點為，則
∵點在函式的圖象上
∴（ⅱ）①②
ⅰ）ⅱ）
例4：要將兩種大小不同的鋼板截成a、b、c三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表所示：
今需要a、b、c三種規格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規格成品，且使所用鋼板張數量少？
答案:：設需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則
且x，y都是整數．
求目標函式z＝x＋y取得最小值時的x，y的值．
如圖，當x＝3，y＝9或x＝4，y＝8時，z取得最小值．
∴需截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張或第一種鋼
板4張，第二種鋼板8張時，可得所需三種規格成品，且使所用鋼板張數最少．
【課內練習】
1．雙曲線的兩條漸近線及過（3，0）且平行其漸近線的一條直線與x=3圍成乙個三角形區域，表示該區域的不等式組是
a、 b、 c、 d、
答案：a。解析：雙曲線的兩條漸近線方程為，過（3，0）且平行於的直線是和，∴圍成的區域為a。
2．給出平面區域如下圖所示，其中a（5，3），b（1，1），c（1，5），若使目標函式z=ax+y(a>0)取得最大值的最優解有無窮多個，則a的值是（ ）
ab． c．2 d．
答案:b。解析：，
即。3．設集合是三角形的三邊長，則所表示的平面區域
(不含邊界的陰影部分)是
答案:a。解析：，故選a
4．某實驗室需購某種化工原料106千克，現在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋
35千克，**為140元；另一種是每袋24千克，**為120元．在滿足需要的條件下，最少要花費元．
答案: 500。解析：設需第一種原料x袋，第二種原料y袋，，令，∴過（1，3）時元。
5．已知，
求的最大值為
答案：21。解析：可行域如圖，當時，，於是可知可行域內各點均在直線的上方，故，化簡得並平行移動，當過c（7，9）時，。
6．要將兩種大小不同的鋼板截成a、b、c三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格小
鋼板的塊數如下表所示：
每張鋼板的面積,第一種為,第二種為,今需要a、b、c三種規格的成品各12、
15、27塊,問各截這兩種鋼板多少張,可得所需三種規格成品,且使所用鋼板面積最小？
答案：解：設需截第一種鋼板張,第二種鋼板張,所用鋼板面積為,
則有 作出可行域(如圖)
目標函式為
作出一組平行直線(t為引數).由得由於點不是可行域內的整數點,而在可行域內的整數點中,點(4,8)和點(6,7)使最小,且.
答:應截第一種鋼板4張,第二種鋼板8張,或第一種鋼板6張,第二種鋼板7張,得所需三種規格的鋼板,且使所用的鋼板的面積最小.
7．已知3≤x≤6， x≤y≤2x，求x＋y的最大值和最小值．
答案：原不等式組等價於
作出其圍成的區域如圖所示，
將直線x＋y＝0向右上方平行移動，
當其經過點（3，1）時取最小值，當其經過（6，12）時取最大值．
∴(x＋y) min＝3＋1＝4，
(x＋y)max＝6＋12＝18．
即x＋y的最大值和最小值分別是18和4．
8．一家飲料廠生產甲、乙兩種果汁飲料，甲種飲料的主要配方是每3份李子汁加乙份蘋果汁，乙種飲料的配方是李子汁和蘋果汁各一半．該廠每天能獲得的原料是李子汁和蘋果汁，又廠方的利潤是生產甲種飲料得3元，生產乙種飲料得4元．那麼廠方每天生產甲、乙兩種飲料各多少，才能獲利最大？
答案:（1）列表
（2）線性約束條件
（3）作出可行域：圖略。
（4）構建目標函式，即
（5）求出滿足條件的最大值：時，取到最大值10000
9．預算用2000元購買單價為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數盡可能的多，但椅子數不少於桌子數，且不多於桌子數的1．5倍，問桌、椅各買多少才行？
答案:：設桌、椅分別買x，y張，則
且x，y∈n*
由解得 ∴點a的座標為（）．
由解得 ∴點b的座標為（25，）．
所以，滿足約束條件的可行域是圖中的陰影部分．
由圖形直觀可知，目標函式z＝x＋y在可行域內的最優解為（25，），但x，y∈n*，故y取37． ∴買桌子25，椅子37是滿足題設的最好選擇．
【作業本】
a組1．如圖所示的平面區域（陰影部分），用不等式表示為
abcd、答案:c。解析：用（0，0）代入驗證。
2．設點，其中，滿足的點的個數為
a、10個b、9個c、3 個d、無數個
答案:a。解析：x,y可取0，1，2，3且滿足條件即可。
3．不等式組，表示的區域為d，點p1（0，-2），p2（0，0），則
a． b． c． d．
答案：c。解析：代入檢驗。
4．設滿足則使得目標函式的值最大的點是 ．
答案:。解析：作出可行域即可發現。
5．某廠擬用貨櫃託運甲、乙兩種貨物，貨櫃的體積、重量、可獲利潤和託運能力
限制資料列在下表中，那麼為了獲得最大利潤，甲、乙兩種貨物應各託運的箱數為
答案：4 ，1。解析：設甲、乙各託運的箱數為x,y，則，∴，當過（4，1）時有最大值。
6．試求由不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面區域的面積大小．
答案:原不等式等價於
其表示的平面區域如圖中陰影部分．
∴s＝()2＝2．
7．已知，若函式
恆成立，求a+b的最大值。
答案：已知恆成立，則作出可行域
令，當經過a時，z有最大值，
由解得，∴。
8．某企業生產a、b兩種產品，生產每一噸產品所需的勞動力、煤和電耗如下表：
已知生產每噸a產品的利潤是7萬元，生產每噸b產品的利潤是12萬元，現因條件限制，該企業僅有勞動力300個，煤360噸，並且供電局只能供電200千瓦，試問該企業生產a、b兩種產品各多少噸，才能獲得最大利潤？
答案：設生產a、b兩種產品各為x、y噸，利潤為z萬元，則
z＝7x＋12y
作出可行域，如圖陰影所示．
當直線7x＋12y＝0向右上方平行移動時，經過m（20，24）時z取最大值．
∴該企業生產a、b兩種產品分別為20噸和24噸時，才能獲得最大利潤．
b組1．若x，y滿足約束條件，則x＋2y的最大值為
a．0 b． c．2 d．以上都不對
答案：c解析：約束條件所表示的可行域如圖所示．
當直線x＋2y＝0平行移動到經過點（0，1）時，
x＋2y取到最大值0＋2×1＝2．
2．已知點與點在直線
的兩側，則的取值範圍
a、 b、 c、 d、
答案:b。解析：。
3．不等式組表示的平面區域的面積為
a、 b、 c、 d、2
答案:b。解析：區域的頂點。
4．的三個頂點座標分別為，則內任意一點所滿足的條件為
答案: 。解析：分別計算三邊的直線方程，然後結合圖形可得。
5．已知點p（1，-2）及其關於原點的對稱點均在不等式表示的平面區
域內，則b的取值範圍是
不等式第3講二元一次不等式 組 與簡單的線性規劃問題
1 考查二元一次不等式組表示的區域面積和目標函式最值 或取值範圍 2 考查約束條件 目標函式中的參變數的取值範圍 複習指導 1 掌握確定平面區域的方法 線定界 點定域 2 理解目標函式的幾何意義，掌握解決線性規劃問題的方法 法 注意線性規劃問題與其他知識的綜合 基礎梳理 1 二元一次不等式表示的平面...
二元一次不等式
二元一次不等式 組 與平面區域 一 課標與考綱要求 1.知識與技能 鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域 能根據 實際問題中的已知條件，找出約束條件 2.過程與方法 經歷把實際問題抽象為數學問題的過程，體會集合 化歸 數形結合 的數學思想 3.情態與價值 結合教學內容，培養學生學習數...
二元一次不等式組與簡單的線性規劃問題
一 知識歸納 1 二元一次不等式表示的平面區域 二元一次不等式在平面直角座標系中表示直線某一側所有點組成的平面區域.虛線表示區域不包括邊界直線 對於在直線同一側的所有點，實數的符號相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點 x0，y0 從的正負即可判斷表示直線哪一側的平面區域.特殊地，當c 0時，常把...