平行四邊形的性質與判定
一、總結平行四邊形的性質與判定原理：
【問題1】我們學習平行四邊形的性質是從哪幾個方面來研究的？
從「邊、角、線」三個方面，其中「線」指的是對角線。
【問題2】判定乙個四邊形是平行四邊形必須有幾個條件？
必須具備兩個條件；注意判定原理5「對角線互相平分」也是兩個等量。
二、總結與平行四邊形相關的性質：（注意，以下性質只可用來指導解證題，在填空、選擇題中可直接使用，但在解答題中不可直接當作原理使用）
【平行四邊形對角線相關性質】
1 平行四邊形每一條對角線將其分成兩個全等的
三角形；平行四邊形的對角線將其分成四個面積
相等的小三角形；相對的兩個小三角形全等；相
鄰兩個三角形的周長之差就等於邊長之差。
如圖p-01，點o是對角線ac、bd交點，則abo、ado、cdo、cbo的面積相等。依據是每相鄰兩個三角形都是「等底同高」。
〖練習〗⒈如圖p-01，點o是對角線ac、bd交點，若s⊿abo=2，則
s⊿abdsabcd=
⒉如圖p-01，點o是對角線ac、bd交點，則圖中共有對全等三角形。
⒊如圖p-01，已知，abcd的周長為28，點o是對角線ac、bd交點， abo的周長比cbo的周長多4，則ab= ，bc=
⒋如圖p-01，點o是對角線ac、bd交點，已知ab=8，bc=6，⊿abo的周長為17，則cbo的周長=
2 在平行四邊形內，過對角線交點且兩端點在
平行四邊形邊上的線段一定被對角線交點平分；
如圖p-02，點o是對角線ac、bd交點，線段
ef過點o，則oe=of；證aeo≌cfo即可
〖練習〗⒈如圖p-02， abcd中，ef過對角線交點o，
若ab=5，bc=4，eo=3，則四邊形cdef的周長為
⒉如圖p-03， abcd中有圓o，請你畫一條直線，
將此平行四邊形及圓o的面積分成相等的
兩部分。
③ 若設平行四邊形兩條對角線長分別為2
和2 (>)，則此平行四邊形每條邊長
的取值範圍為<<
〖練習〗⒈如圖p-01，若ac=8，bd=12，則
ab的取值範圍是
⒉三角形一邊上的中線的取值範圍為：大於另兩邊之差，小於另兩邊之和。
如圖p-04，已知d為abc中bc邊上的中點，
ab=5，ac=7，求ad的取值範圍。
〖提示〗延長ad至e，使de=ad，鏈結be、ec，
易證得abec；記住此法：倍長中線法，是常
用的輔助線作法
【四邊形四邊中點連線性質】
④ 順次鏈結四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；
如圖p-05，鏈結ac，由三角形中位線原理可得：
hg、ef都平行且等於ac，
∴hg平行且等於ef，得平行四邊形
注：此性質在學習了菱形、矩形後還有擴充。
【等腰三角形與平行線相關性質】
⑤ 從等腰三角形底邊上任一點做兩腰的平行線，
可得一平行四邊形和兩個小的等腰三角形，
且平行四邊形的周長等於兩腰長之和；
如圖p-06，ab=ac，de∥ac，df∥ab
易得∠1=∠b，∠2=∠c，而∠b=∠c，
∴∠1=∠c，∠2=∠b
〖練習〗如圖p-06， abc中，ab=ac=6，d是bc上
一點，de∥ac，df∥ab，求四邊形afde的周長。
⑥ 一條角平分線與平行線相交時常會出現等腰三角形；
如圖p-07，ab∥cd，∠1=∠2，則易證
∠1=∠3，∴∠2=∠3，得等腰aed
〖練習〗⒈如圖p-08，在abcd中，ab=7，ad=3，
∠dab的的平分線交cd於e，交bc的延長線
於f，求cf長
⒉ 如圖p-09， abc中，∠abc與∠acb的角
平分線交於點f，de∥bc且過點f
求證：de=bd+ec
【中位線相關性質】
⑦ 三角形中位線原理： 三角形的中位線平行且等於第三邊的一半；
三角形中位線原理推論：過三角形一邊中點且平行另一邊的直線必平分第三邊。
如圖p-10，d、e分別為ab、ac中點，則有：
de∥bc，de=bc；若已知d為ab中點，
de∥bc，則有：ae=ce
〖練習〗證明三角形中位線原理推論
已知：求證：
證明：⑧ 三角形的三條中位線將原三角形分成的四個小三角形的全等，周長都等於原三角形周長的一半，面積都等於原三角形面積的1/4。
如圖p-11，d、e、f分別是abc三邊中點，則圖中
四個小三角形都全等，且面積都等於abc面積的1/4；
周長都等於abc周長的1/2；
圖中共有3個平行四邊形。
〖練習〗如圖p-11，d、e、f分別是abc三邊中點，
ab=6，ac=7，bc=10，則def的周長為
三、典型題例與解題思路
【例1】如圖p-12， abcd中，e、f為ac上兩點，
且ae=cf，求證：四邊形debf是平行四邊形
〖思路分析〗
本類題型是在平行四邊形中求證某四邊形是平行
四邊形，證題思路較有規律，都是先由原平行四邊形得
到一些條件，再證得其它條件，或由全等三角形或由平
行四邊形的判定原理得到所要求證的四邊形是平行四邊形。
在證本類題型時，首先要想清楚自己要選用哪種方法（原理）來證。幾何證明題的方法往往有多種，不一定要是最簡單的，但在找條件時不能亂，不要所有能用的不用的都寫上去。以本題為例，我們要證bfde，可以選用的方法有「兩組對邊分別相等」、 「兩組對邊分別平行」、 「一組對邊平行且相等」、「對角線互相平分」等方法，選定一種後，就找對應的條件。
我們先看第一種方法：兩組對邊分別相等。要證de=bf，be=df，我們可以用全等來證，先用aeb≌cfd得be=df，再同理得de=bf。
〖解題格式〗
證： ∵有abcd （已知）
∴ab=cd，ab∥cd（平行四邊形性質）
1=∠2 （兩直線平行，內錯角相等）
又∵ae=cf （已知）
在aeb和cfd中：
ab=cd ∠1=∠2 ae=cf
∴aeb≌cfd （sas）
∴be=df （全等性質）
同理：de=bf
有debf （兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）
〖同題練習〗
⒈ 用「一組對邊平行且相等」來證：
⒉ 用「對角線互相平分」來證：
〖同類練習〗
⒈ 如圖p-13， abcd中，e、f分別為ab、cd中點，af、de相交於g，ce、bf相交於h。求證：四邊形ehfg是平行四邊形
〖思路分析〗可以先用來證debf，從而得de∥bf；
再同理證得最終用的原理來證得。
〖解題過程〗
⒉ 如圖p-14， abcd中，e、f分別為ab、cd上的點，且df=be，
求證：af=ce
〖思路分析〗可以用全等的方法證，也可以
直接證aecf，從而得對邊相等。
〖解題過程〗
方法一：用全等的方法
方法二：先證aecf
⒊ 求證：平行四邊形一條對角線的兩個個端點到另一條對角線的距離相等。
（要求畫圖，寫出已知、求證並證明）
【例2】如圖p-15，o是abc內一點，d、
e、f、g分別是ab、ac、ob、oc的中點
求證：四邊形defg是平行四邊形
〖思路分析〗
此類題型是利用中位線原理來證題，要
證defg，只要證一組對邊平行且相等就
可以了；我們可以選定de與fg
〖解題過程〗
證：∵ 在abc中，d、e分別是ab、ac的中點
∴ de∥bc，de=1/2bc （三角形中位線性質）
同理：fg∥bc，fg=1/2bc
∴ fg=de （等量代換）fg∥de
∴ 有defg（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
〖練習〗求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分。
（寫出已知、求證並證明）
菱形的性質與判定
一、菱形的性質與平行四邊形的性質比較
二、菱形的性質與判定比較
三、觀察上表，你能發現什麼特點？除了上表中的四種判定法之外，你還能找出哪些判定菱形的方法？所有這些方法，你能發現它們的共同點嗎？你能不能用一句話說明，到底怎樣判定菱形的？
上表的特點是：判定菱形，只用到了邊與線，而且用邊來判定時只用到了「四邊相等」的性質；用「線」來判定時只用到了「互相垂直平分」的性質。另外，如果已知的是四邊形，就必須要有三個條件才能證得菱形，如果已知的是平行四邊形，那麼就只要再有乙個條件就可以了。
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
特殊平行四邊形
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